Os autovalores da matriz \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\\\ -6 & 9\end{array}\right] são:
(a) 3 e 6
(b) 4 e 6
(c) 3 e 7
(d) 4 e 8

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 3 \\[4pt] -6 & 9\end{pmatrix}
e pede os autovalores (ou seja, os valores próprios) dessa matriz. As alternativas fornecidas são:
(a) 3 e 6
(b) 4 e 6
(c) 3 e 7
(d) 4 e 8]

Passo 2

O que precisamos calcular: os autovalores \lambda são os números que satisfazem a equação característica
\det(A-\lambda I)=0.
Aqui I é a matriz identidade 2\times2, e A-\lambda I significa subtrair \lambda na diagonal de A. Vou explicar como calcular o determinante de uma matriz 2\times2: para
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
temos
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Isso é tudo o que precisamos para montar a equação característica.

Passo 3

Formo A-\lambda I. Subtraindo \lambda na diagonal de A obtemos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & 3\\[4pt] -6 & 9-\lambda\end{pmatrix}.
Agora aplico a fórmula do determinante ad-bc:
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(9-\lambda)- (3)(-6).
Vou desenvolver isso com calma: o primeiro termo é -\lambda\cdot(9-\lambda)=-9\lambda+\lambda^2. O segundo termo é 3\cdot(-6)=-18, mas na fórmula aparece subtraído, então subtrair -18 +18. Portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-9\lambda+18.]

Passo 4

A equação característica é
\lambda^2-9\lambda+18=0.
Para resolver uma quadrática assim, podemos tentar fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja 18 e cuja soma seja -9. Esses números são -3 e -6, pois (-3)\cdot(-6)=18 e (-3)+(-6)=-9. Assim a fatoração é
\lambda^2-9\lambda+18=(\lambda-3)(\lambda-6).
Logo as raízes (os autovalores) são
\lambda=3\quad\text{e}\quad\lambda=6.

Passo 5

Como verificação rápida (truque útil na prova): para uma matriz 2\times2 os autovalores \lambda_1,\lambda_2 satisfazem
\lambda_1+\lambda_2=\operatorname{tr}(A)
e
\lambda_1\lambda_2=\det(A).
Aqui \operatorname{tr}(A)=0+9=9 e \det(A)=0\cdot9-3\cdot(-6)=18. Nossos valores 3 e 6 cumprem 3+6=9 e 3\cdot6=18, então está consistente. Dica de prova: quando a matriz é 2\times2 muitas vezes é mais rápido calcular traço e determinante e então buscar dois números com essa soma e produto.

Passo 6

Pequeno exemplo extra para fixar (vai ajudar na prova): se tivéssemos
B=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},
então \operatorname{tr}(B)=2+3=5 e \det(B)=2\cdot3-1\cdot0=6. Os autovalores seriam os números cuja soma é 5 e produto é 6, ou seja 2 e 3 — que no caso aparecem diretamente na diagonal porque B é triangular. É um jeito rápido de checar.]

Resposta

(a) 3 e 6

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