Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras ou falsas. Jusitifique sua resposta.
(d) Se
, então
é uma base de
.
(d) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se
é um subespaço de dimensão 3 e se
é uma base de
. O conteúdo aqui é achar a dimensão de
via equações lineares sobre os coeficientes e depois verificar que
está em
, é LI e gera todo
.
Passo 2
Escrevendo um polinômio genérico de grau
as condições
e
viram
e
Logo há duas restrições lineares independentes sobre os cinco coeficientes, dando
Passo 3
Verificamos que cada vetor de
satisfaz as duas condições:
- Para
:
e . - Para
:
e . - Para
:
e .
Assim,.
Passo 4
Já que
e temos três vetores em
, basta ver que eles são linearmente independentes. Num polinômio
os coeficientes de
,
,
,
devem todos anular, forçando
,
,
. Logo
é LI. Além disso, toda solução de
,
se escreve como
mostrando que
gera
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.