Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras ou falsas. Jusitifique sua resposta.
(d) Se W=p(t) in R[t]4: p(0)=0, p(1)=p(-1), então B=t-t^3, t^2, t^4 é uma base de W.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
W = lp(t)in R[t]4: p(0)=0,;p(1)=p(-1)r
é um subespaço de dimensão 3 e se
B = ,t - t^3,;t^2,;t^4
é uma base de W. O conteúdo aqui é achar a dimensão de W via equações lineares sobre os coeficientes e depois verificar que B está em W, é LI e gera todo W.

Passo 2

Escrevendo um polinômio genérico de grau <=4
p(t)=a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3 + a4 t^4,
as condições p(0)=0 e p(1)=p(-1) viram
a0=0
e
a1 + a2 + a3 + a4 ;=;(-a1)+a2 -a3 + a4 ;Longrightarrow; a1 + a3 = 0
Logo há duas restrições lineares independentes sobre os cinco coeficientes, dando
dim W = 5 - 2 = 3

Passo 3

Verificamos que cada vetor de B satisfaz as duas condições:
  • Para p(t)=t - t^3:
    p(0)=0 e p(1)=1-1=0=p(-1).
  • Para p(t)=t^2:
    p(0)=0 e p(1)=1=p(-1).
  • Para p(t)=t^4:
    p(0)=0 e p(1)=1=p(-1).
    Assim, Bsubset W.

Passo 4

Já que dim W=3 e temos três vetores em B, basta ver que eles são linearmente independentes. Num polinômio
alpha,(t-t^3)+beta,t^2+gamma,t^4equiv0
os coeficientes de t, t^3, t^2, t^4 devem todos anular, forçando
alpha=0, beta=0, gamma=0. Logo B é LI. Além disso, toda solução de a0=0, a1=-a3 se escreve como
a1(t-t^3)+a2,t^2+a4,t^4,
mostrando que B gera W.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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