Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras ou falsas. Jusitifique sua resposta.
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado diz que
(o espaço dos polinômios em
de grau
) seria igual ao subespaço gerado pelos cinco polinômios
O objetivo é verificar se esse conjunto gera todo
. Para isso vamos usar o fato de que
e checar independência linear dos cinco polinômios.
Passo 2
Como
, todo conjunto de cinco vetores (polinômios) que seja linearmente independente forma base e, portanto, gera
. Logo basta mostrar que os polinômios dados são linearmente independentes.
Passo 3
Considere a combinação linear que anula:
onde
é o polinômio nulo.
Passo 4
Agrupando termos segundo as potências de
, obtemos
Como o polinômio é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero:
Portanto só a combinação trivial anula, e os cinco polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Tendo cinco polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão
, esse conjunto é uma base de
. Logo seu span é todo
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.