Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras ou falsas. Jusitifique sua resposta.
(f) R[t]4=[1, t+1, t^2+1, t^3+1, t^4-2].

Passo 1

O enunciado diz que R[t]4 (o espaço dos polinômios em t de grau <=4) seria igual ao subespaço gerado pelos cinco polinômios
1, t+1, t^2+1, t^3+1, t^4-2
O objetivo é verificar se esse conjunto gera todo R[t]4. Para isso vamos usar o fato de que dimR[t]4=5 e checar independência linear dos cinco polinômios.

Passo 2

Como dimR[t]4=5, todo conjunto de cinco vetores (polinômios) que seja linearmente independente forma base e, portanto, gera R[t]4. Logo basta mostrar que os polinômios dados são linearmente independentes.

Passo 3

Considere a combinação linear que anula:
alphacdot1 +beta,(t+1) +gamma,(t^2+1) +de<a,(t^3+1) +varepsilon,(t^4-2) ;=;0,
onde 0 é o polinômio nulo.

Passo 4

Agrupando termos segundo as potências de t, obtemos
varepsilon,t^4 +de<a,t^3 +gamma,t^2 +beta,t +l(alpha+beta+gamma+de<a-2,varepsilonr) ;=;0
Como o polinômio é identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero:
varepsilon=0, de<a=0, gamma=0, beta=0, alpha+beta+gamma+de<a-2varepsilon=0 ;Longrightarrow; alpha=0
Portanto só a combinação trivial anula, e os cinco polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Tendo cinco polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão 5, esse conjunto é uma base de R[t]4. Logo seu span é todo R[t]4.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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