Classifique cada afirmação como Verdadeira ou Falsa.
( ) Se f é contínua e f(x) >= 0, forall x in[a, b], então integrala^b raizf(x) d x=raizintegrala^b f(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a afirmação sobre integrais de funções contínuas não negativas, envolvendo a igualdade integrala^b raizf(x),dx = raizintegrala^b f(x),dx. O conteúdo é teoria de integrais e desigualdades (como a de Jensen) para funções convexas/concavas.

Passo 2

A função varphi(u)=raizu é uma função concava em [0,infty). A desigualdade de Jensen para integrais diz que, se varphi é concava e f(x)>=0, então
varphigl(1b-aintegrala^b f(x),dxgr)>=1b-aintegrala^bvarphi(f(x)),dx

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por b-a>0 e usando varphi(u)=raizu, obtemos
(b-a)raiz1b-aintegrala^b f(x),dx>=integrala^braizf(x),dx,
o que é equivalente a
raiz(b-a)integrala^b f(x),dx>=integrala^braizf(x),dx
Geralmente essa desigualdade é estrita, salvo quando f é constante.

Passo 4

Para ver que a igualdade do enunciado falha em geral, tome por exemplo f(x)=1 em [0,2]. Então
integral0^2raizf(x),dx=integral0^2 1,dx=2
e
raizintegral0^2 f(x),dx=raiz2
Como 2neqraiz2, a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa

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