Classifique cada afirmação como Verdadeira ou Falsa.
( ) Se
é contínua e
, então
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar a afirmação sobre integrais de funções contínuas não negativas, envolvendo a igualdade
. O conteúdo é teoria de integrais e desigualdades (como a de Jensen) para funções convexas/concavas.
Passo 2
A função
é uma função concava em
. A desigualdade de Jensen para integrais diz que, se
é concava e
, então
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
e usando
, obtemos
o que é equivalente a
Geralmente essa desigualdade é estrita, salvo quando
é constante.
Passo 4
Para ver que a igualdade do enunciado falha em geral, tome por exemplo
em
. Então
e
Como
, a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa