Classifique cada afirmação como Verdadeira ou Falsa.
( ) Toda função contínua ê diferenciável.
( ) Toda função contínua ê diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma afirmação: “Toda função contínua é diferenciável.” A matéria aqui é sobre continuidade e diferenciabilidade de funções, que são conceitos de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e separadamente, o que significa ela ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel naquele ponto. Ou seja, não tem “saltos” ou “buracos”. Em termos matemáticos, isso significa que:
para todo ponto $ c $ no domínio da função.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto, ou seja, se a inclinação da reta tangente existe naquele ponto. Matemáticamente, isso é:
Se esse limite existe, então a função é diferenciável em $ c $.
Passo 4
Importante: diferenciabilidade implica continuidade, ou seja, se uma função é diferenciável em um ponto, ela também é contínua nesse ponto. Mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Existem funções que são contínuas mas não são diferenciáveis.
Passo 5
Um exemplo clássico de uma função que é contínua mas não diferenciável é a função valor absoluto $ f(x) = |x| $. Ela é contínua em todo lugar, mas no ponto $ x = 0 $, não tem uma derivada definida porque a inclinação da reta muda abruptamente de -1 para 1.
Passo 6
Portanto, nem toda função contínua é diferenciável. Há funções contínuas que não têm derivada em certos pontos.
Resposta
Falsa. Nem toda função contínua é diferenciável.