Calcule a integral iterada.
integral1^4 integral0^4(x2+raizy) d x d y

Passo 1

A questão pede para calcular a integral iterada integraly=1^4integralx=0^4l(tfracx2+raizyr),dx,dy. O conteúdo envolve integrais iteradas e vamos usar linearidade da integral e antiderivadas simples.

Passo 2

Primeiro, fixamos y e computamos a integral interna em x:
integral0^4l(tfracx2+raizyr),dx = integral0^4tfracx2,dx + integral0^4raizy,dx
Para a primeira parte, usamos integral x,dx = x^2/2, obtendo
integral0^4tfracx2,dx = tfrac12cdotx^22|0^4 = 14(4^2) = 4
Para a segunda parte, raizy é constante em relação a x, então
integral0^4raizy,dx = raizycdot x|0^4 = 4raizy
Somando, a integral interna é 4 + 4raizy.

Passo 3

Agora calculamos a integral externa em y:
integral1^4l(4 + 4raizyr),dy = integral1^44,dy + 4integral1^4y^1/2,dy
Para integral4,dy temos 4y|1^4 = 4(4-1)=12. Para integral y^1/2,dy usamos integral y^n,dy = y^n+1/(n+1), logo
4cdoty^3/23/2|1^4 = 83l(4^3/2-1r) = 83(8-1)=563
Somando as duas partes, obtemos 12 + tfrac563 = tfrac36+563=tfrac923.

Resposta

\displaystyle \frac{92}{3}

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