Classifique cada uma das afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F).
\frac{4}{5} \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede que classifique a afirmação \frac{4}{5}\in\mathbb{N} como verdadeira (V) ou falsa (F).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • O elemento a verificar é \frac{4}{5}.
  • O conjunto em questão é \mathbb{N} (números naturais).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa pertencer a \mathbb{N}. Existem duas convenções comuns, mas ambas têm algo em comum importante:
  • Uma convenção: \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}.
  • Outra convenção: \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}.
    Em qualquer das convenções, os elementos de \mathbb{N} são números inteiros não negativos — isto é, não têm parte fracionária. Portanto um número está em \mathbb{N} apenas se for um inteiro (por exemplo 0,1,2,3,\dots).

Passo 3

Vamos também recordar a diferença entre inteiros e racionais:
  • \mathbb{Z} é o conjunto dos inteiros: \{\,\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\,\}.
  • \mathbb{Q} é o conjunto dos números racionais: números que podem ser escritos como \dfrac{a}{b} com a\in\mathbb{Z} e b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.
    Todo número natural é um inteiro e também é um racional (por exemplo 5=\dfrac{5}{1}). Mas nem todo racional é inteiro: se, na forma irredutível \dfrac{a}{b}, o denominador b for diferente de 1, então o racional não é um inteiro.

Passo 4

Examine \dfrac{4}{5}. Esta fração está na forma irredutível (o numerador 4 e o denominador 5 não têm fatores comuns além de 1), e o denominador é 5\neq 1. Logo \dfrac{4}{5} não é um inteiro, pois um inteiro escrito como fração tem denominador 1.
Uma prova por contradição (bem direta): suponha que \dfrac{4}{5}\in\mathbb{N}. Então existe n\in\mathbb{N} tal que
n=\frac{4}{5}.
Multiplicando ambos os lados por 5 obtemos
5n=4.
O lado esquerdo 5n é múltiplo de 5, enquanto 4 não é múltiplo de 5. Isso é uma contradição. Portanto a suposição é falsa e \dfrac{4}{5}\notin\mathbb{N}.

Passo 5

Complemento didático e exemplos rápidos para a prova: para decidir rápido se um número racional \dfrac{p}{q} está em \mathbb{N}, coloque na forma irredutível; se q=1 e p\ge 0 então pertence a \mathbb{N}, caso contrário não. Exemplos:
  • \dfrac{6}{1}=6\in\mathbb{N}.
  • \dfrac{2}{3}\notin\mathbb{N}.
  • \dfrac{4}{5}\notin\mathbb{N}.

Resposta

F

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