Classifique cada uma das afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F).
Passo 1
O enunciado pede que classifique a afirmação
como verdadeira (V) ou falsa (F).
Informações relevantes dadas no enunciado:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- O elemento a verificar é
. - O conjunto em questão é
(números naturais).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa pertencer a
. Existem duas convenções comuns, mas ambas têm algo em comum importante:
- Uma convenção:
. - Outra convenção:
.
Em qualquer das convenções, os elementos desão números inteiros não negativos — isto é, não têm parte fracionária. Portanto um número está em apenas se for um inteiro (por exemplo ).
Passo 3
Vamos também recordar a diferença entre inteiros e racionais:
-
é o conjunto dos inteiros: . -
é o conjunto dos números racionais: números que podem ser escritos como com e .
Todo número natural é um inteiro e também é um racional (por exemplo). Mas nem todo racional é inteiro: se, na forma irredutível , o denominador for diferente de , então o racional não é um inteiro.
Passo 4
Examine
. Esta fração está na forma irredutível (o numerador
e o denominador
não têm fatores comuns além de
), e o denominador é
. Logo
não é um inteiro, pois um inteiro escrito como fração tem denominador
.
Uma prova por contradição (bem direta): suponha que
. Então existe
tal que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
O lado esquerdo
é múltiplo de
, enquanto
não é múltiplo de
. Isso é uma contradição. Portanto a suposição é falsa e
.
Passo 5
Complemento didático e exemplos rápidos para a prova: para decidir rápido se um número racional
está em
, coloque na forma irredutível; se
e
então pertence a
, caso contrário não. Exemplos:
-
. -
. -
.
Resposta
F