Classifique cada equação como elipse, hipérbole ou nenhuma, justificando:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=-1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação dada como elipse, hipérbole ou nenhuma, e justificar a classificação. A equação fornecida é
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=-1.

Passo 2

Antes de mexer na equação, vamos lembrar (de forma bem direta e prática) as formas-canônicas mais comuns e o que elas significam:
\text{Elipse:}\qquad \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde os dois termos com quadrado têm o mesmo sinal (ambos positivos) e o lado direito é 1. Aqui a e b são os semi-eixos da elipse (distâncias a partir do centro até os vértices em cada direção).
\text{Hipérbole:}\qquad \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad\text{ou}\quad \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1,é
onde os termos com quadrado têm sinais opostos. O sinal positivo indica em qual variável está o eixo transverso (horizontal se o termo positivo for x^{2}, vertical se for y^{2}). Novamente a e b são constantes positivas relacionadas às distâncias características da hipérbole.
Esses padrões são o que vamos usar para identificar a cônica: se os quadrados aparecem com sinais iguais (ambos +) e a constante do lado direito for positiva, tende a ser elipse; se aparecem com sinais opostos e o lado direito é positivo numa forma padrão, é hipérbole.

Passo 3

Vamos manipular a equação dada para deixá-la numa forma mais clara. Começo multiplicando os dois lados por 4 para eliminar os denominadores:
4\left(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}\right)=4(-1).
Isso simplifica para
x^{2}-y^{2}=-4.

Passo 4

Reorganizo para ter o termo positivo primeiro (isso ajuda a comparar com a forma-canônica da hipérbole). Multiplico ambos os lados por -1 (ou passo os termos):
y^{2}-x^{2}=4.

Passo 5

Agora divido tudo por 4 para obter o lado direito igual a 1:
\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{4}=1.
Essa é exatamente uma forma-canônica de hipérbole, do tipo
\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1,
com b^{2}=4 e a^{2}=4 (portanto a=2 e b=2). Note que os sinais dos dois termos são opostos (um positivo, outro negativo) e o lado direito é 1 — é a assinatura algebraica de uma hipérbole.

Passo 6

Interpretação geométrica curta (para fixar o porquê): como o termo positivo é o de y^{2}, o eixo transverso da hipérbole é vertical (os vértices estão sobre o eixo y a uma distância 2 do centro). Também podemos ver as assíntotas: a equação y^{2}-x^{2}=4 pode ser escrita como (y-x)(y+x)=4; para |x| grande a constante 4 fica desprezível em comparação aos termos de grau 2, e a hipérbole tende às retas y=\pm x (essas são as assíntotas passando pela origem).

Passo 7

Por que não é elipse nem “nenhuma”? Para ser elipse na forma padrão precisaríamos de sinais iguais nos termos quadráticos (por exemplo \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1). Aqui os sinais são opostos, portanto não é elipse. Também não é degenerada (não reduz a algo como duas retas) porque o lado direito após normalizar é 1\neq0; então é uma hipérbole real e não uma forma degenerada.

Resposta

Hipérbole.

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