Classifique cada equação como elipse, hipérbole ou nenhuma, justificando:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação dada como elipse, hipérbole ou nenhuma, e justificar a classificação. A equação fornecida é
Passo 2
Antes de mexer na equação, vamos lembrar (de forma bem direta e prática) as formas-canônicas mais comuns e o que elas significam:
onde os dois termos com quadrado têm o mesmo sinal (ambos positivos) e o lado direito é
. Aqui
e
são os semi-eixos da elipse (distâncias a partir do centro até os vértices em cada direção).
onde os termos com quadrado têm sinais opostos. O sinal positivo indica em qual variável está o eixo transverso (horizontal se o termo positivo for
, vertical se for
). Novamente
e
são constantes positivas relacionadas às distâncias características da hipérbole.
Esses padrões são o que vamos usar para identificar a cônica: se os quadrados aparecem com sinais iguais (ambos
) e a constante do lado direito for positiva, tende a ser elipse; se aparecem com sinais opostos e o lado direito é positivo numa forma padrão, é hipérbole.
Passo 3
Vamos manipular a equação dada para deixá-la numa forma mais clara. Começo multiplicando os dois lados por
para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para
Passo 4
Reorganizo para ter o termo positivo primeiro (isso ajuda a comparar com a forma-canônica da hipérbole). Multiplico ambos os lados por
(ou passo os termos):
Passo 5
Agora divido tudo por
para obter o lado direito igual a
:
Essa é exatamente uma forma-canônica de hipérbole, do tipo
com
e
(portanto
e
). Note que os sinais dos dois termos são opostos (um positivo, outro negativo) e o lado direito é
— é a assinatura algebraica de uma hipérbole.
Passo 6
Interpretação geométrica curta (para fixar o porquê): como o termo positivo é o de
, o eixo transverso da hipérbole é vertical (os vértices estão sobre o eixo
a uma distância
do centro). Também podemos ver as assíntotas: a equação
pode ser escrita como
; para
grande a constante
fica desprezível em comparação aos termos de grau 2, e a hipérbole tende às retas
(essas são as assíntotas passando pela origem).
Passo 7
Por que não é elipse nem “nenhuma”? Para ser elipse na forma padrão precisaríamos de sinais iguais nos termos quadráticos (por exemplo
). Aqui os sinais são opostos, portanto não é elipse. Também não é degenerada (não reduz a algo como duas retas) porque o lado direito após normalizar é
; então é uma hipérbole real e não uma forma degenerada.
Resposta
Hipérbole.