Considere a hiperbóle:
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1
Calcule:
(a) a, b e c;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1
e pede quatro coisas:
(a) os valores de a, b e c;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.
Informações explícitas fornecidas pelo enunciado:
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1.
Não há outras figuras ou tabelas. A hipérbole está centrada na origem e o termo positivo é o de x^{2}, então o eixo transverso é o eixo x.

Passo 2

Identificar a e b comparando com a forma padrão.
Forma padrão (hipérbole com eixo transverso horizontal):
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Comparando com a equação dada vemos que
a^{2}=9,\qquad b^{2}=4.
Explicando: a é o semi-eixo transverso (meio eixo ao longo do eixo que gera a hipérbole), e b é o semi-eixo conjugado (relacionado à “abertura” vertical dos ramos). Agora extraímos a e b:
a=\sqrt{a^{2}}=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{b^{2}}=\sqrt{4}=2.

Passo 3

Calcular c (distância do centro aos focos) e explicar a fórmula.
Para hipérboles da forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 existe a relação entre a, b e c:
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Breve justificativa: nos eixos coordenados, as coordenadas dos focos satisfazem essa relação geométrica; é análogo à relação do triângulo retângulo formado por a, b e c na construção geométrica da hipérbole. Substituindo os valores:
c^{2}=9+4=13 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{13}.

Passo 4

Determinar os vértices.
Para a hipérbole centrada na origem com termo positivo em x^{2}, os vértices estão em
(\pm a,\,0).
Usando a=3 obtemos os vértices:
(3,0)\quad\text{e}\quad(-3,0).

Passo 5

Determinar os focos.
Os focos ficam em
(\pm c,\,0).
Como c=\sqrt{13}, os focos são
(\sqrt{13},0)\quad\text{e}\quad(-\sqrt{13},0).

Passo 6

Determinar as assíntotas e explicar o porquê.
Para a forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 centrada na origem, as assíntotas são as retas que a curva aproxima quando |x|\to\infty. As equações são
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Justificação rápida: dividir a equação por x^{2} (para x\neq0) e fazer x\to\infty \dfrac{1}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}x^{2}}\to0, levando a y/x\to\pm b/a; alternativamente, escrever y^{2}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}-b^{2} e observar que para |x| grande o termo constante é desprezível, então y\approx\pm \dfrac{b}{a}x. Substituindo a=3 e b=2:
y=\pm\frac{2}{3}\,x.

Resposta

(a) a=3,\; b=2,\; c=\sqrt{13}
(b) vértices: (3,0) e (-3,0)
(c) focos: (\sqrt{13},0) e (-\sqrt{13},0)
(d) assíntotas: y=\dfrac{2}{3}x e y=-\dfrac{2}{3}x

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