Considere a hiperbóle:
Calcule:
(a)
e
;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.
(a)
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede quatro coisas:
(a) os valores de ,
e
;
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.
(a) os valores de
(b) os vértices;
(c) os focos;
(d) as assíntotas.
Informações explícitas fornecidas pelo enunciado:
Não há outras figuras ou tabelas. A hipérbole está centrada na origem e o termo positivo é o de
, então o eixo transverso é o eixo
.
Passo 2
Identificar
e
comparando com a forma padrão.
Forma padrão (hipérbole com eixo transverso horizontal):
Comparando com a equação dada vemos que
Explicando:
é o semi-eixo transverso (meio eixo ao longo do eixo que gera a hipérbole), e
é o semi-eixo conjugado (relacionado à “abertura” vertical dos ramos). Agora extraímos
e
:
Passo 3
Calcular
(distância do centro aos focos) e explicar a fórmula.
Para hipérboles da forma
existe a relação entre
,
e
:
Breve justificativa: nos eixos coordenados, as coordenadas dos focos satisfazem essa relação geométrica; é análogo à relação do triângulo retângulo formado por
,
e
na construção geométrica da hipérbole. Substituindo os valores:
Passo 4
Determinar os vértices.
Para a hipérbole centrada na origem com termo positivo em
, os vértices estão em
Usando
obtemos os vértices:
Passo 5
Determinar os focos.
Os focos ficam em
Como
, os focos são
Passo 6
Determinar as assíntotas e explicar o porquê.
Para a forma
centrada na origem, as assíntotas são as retas que a curva aproxima quando
. As equações são
Justificação rápida: dividir a equação por
(para
) e fazer
dá
, levando a
; alternativamente, escrever
e observar que para
grande o termo constante é desprezível, então
. Substituindo
e
:
Resposta
(a)
(b) vértices: e
(c) focos: e
(d) assíntotas: e
(b) vértices:
(c) focos:
(d) assíntotas: