(a) Reescreva este problema como um sistema de equações de 1^{\mathrm{a}} ordem.
(b) Resolva o sistema do item (a) usando o método de Euler com \mathrm{h}=0,25
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' = -7y,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=0,
e pede duas coisas:
Reescrever o problema como um sistema de equações de primeira ordem.
Resolver (ou melhor: aproximar a solução) do sistema do item anterior usando o método de Euler com passo h=0,25.
As informações relevantes que temos são: a equação diferencial de segunda ordem y''=-7y e as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0. Não foi dado um intervalo explícito para a aproximação, então vou construir aproximações nos instantes t=0,0{,}25,0{,}5,0{,}75,1{,}0 (quatro passos de tamanho h=0{,}25), que é um procedimento padrão para ver a evolução com Euler.
Passo 2
Transformar uma equação de segunda ordem em um sistema de primeira ordem: introduzimos variáveis para y e sua derivada. Definimos
x_1(t)=y(t),\qquad x_2(t)=y'(t).
Agora derivamos essas definições para obter um sistema de primeira ordem. Temos
Ou seja, em cada passo calculamos as derivadas usando os valores atuais e somamos h vezes essa derivada ao estado atual.
Passo 4
Preparar os dados iniciais e escrever a fórmula aplicada aqui. Nosso passo é h=0{,}25\). O vetor inicial é
\[\mathbf{x}_0=\begin{pmatrix}x_{1,0}\\\ x_{2,0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\\\ 0\end{pmatrix},
em t_0=0. A regra do Euler para este sistema, explicitando as componentes, é