Considere o problema
\begin{aligned} & y^{\prime \prime}=-7 y, \\\ & y(0)=2, \\\ & y^{\prime}(0)=0 \end{aligned}
(a) Reescreva este problema como um sistema de equações de 1^{\mathrm{a}} ordem.
(b) Resolva o sistema do item (a) usando o método de Euler com \mathrm{h}=0,25

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' = -7y,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=0,
e pede duas coisas:
  1. Reescrever o problema como um sistema de equações de primeira ordem.
  2. Resolver (ou melhor: aproximar a solução) do sistema do item anterior usando o método de Euler com passo h=0,25.
As informações relevantes que temos são: a equação diferencial de segunda ordem y''=-7y e as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0. Não foi dado um intervalo explícito para a aproximação, então vou construir aproximações nos instantes t=0,0{,}25,0{,}5,0{,}75,1{,}0 (quatro passos de tamanho h=0{,}25), que é um procedimento padrão para ver a evolução com Euler.

Passo 2

Transformar uma equação de segunda ordem em um sistema de primeira ordem: introduzimos variáveis para y e sua derivada. Definimos
x_1(t)=y(t),\qquad x_2(t)=y'(t).
Agora derivamos essas definições para obter um sistema de primeira ordem. Temos
x_1'(t)=y'(t)=x_2(t),
e usando a equação original
x_2'(t)=y''(t)=-7y(t)=-7x_1(t).
As condições iniciais ficam
x_1(0)=y(0)=2,\qquad x_2(0)=y'(0)=0.
Portanto o sistema é (resposta do item (a))
\begin{cases} x_1' = x_2,\\[4pt] x_2' = -7x_1,\\[4pt] x_1(0)=2,\; x_2(0)=0. \end{cases}]

Passo 3

Explicar o método de Euler (forward) para sistemas — a “receita” que vamos aplicar. Se tivermos um sistema vetorial
\mathbf{x}'(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}(t)),
com \mathbf{x}(t_n)=\mathbf{x}_n e passo h, o método de Euler dá
\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n + h\,\mathbf{f}(t_n,\mathbf{x}_n).
Aqui a função \mathbf{f} reúne as derivadas: no nosso caso
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\\ x_2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{f}(t,\mathbf{x})=\begin{pmatrix}x_2\\\\ -7x_1\end{pmatrix}.
Ou seja, em cada passo calculamos as derivadas usando os valores atuais e somamos h vezes essa derivada ao estado atual.

Passo 4

Preparar os dados iniciais e escrever a fórmula aplicada aqui. Nosso passo é h=0{,}25\). O vetor inicial é \[\mathbf{x}_0=\begin{pmatrix}x_{1,0}\\\ x_{2,0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\\\ 0\end{pmatrix},
em t_0=0. A regra do Euler para este sistema, explicitando as componentes, é
\begin{cases} x_{1,n+1}=x_{1,n} + h\,x_{2,n},\\[4pt] x_{2,n+1}=x_{2,n} + h\,(-7x_{1,n}). \end{cases}
Vou executar essa fórmula passo a passo para n=0,1,2,3\] (que correspondem a \(t=0,0{,}25,0{,}5,0{,}75) e obter \mathbf{x}_4 em t=1{,}0.]

Passo 5

Passo n=0 (de t_0=0 para t_1=0{,}25):
Dados: x_{1,0}=2,\; x_{2,0}=0.
Calcular as incrementações:
x_{1,1}=x_{1,0} + h\,x_{2,0}=2 + 0{,}25\cdot 0 = 2,
x_{2,1}=x_{2,0} + h\,(-7x_{1,0})=0 + 0{,}25\cdot(-7\cdot 2)=0 + 0{,}25\cdot(-14)= -3{,}5.
Logo em t_1=0{,}25 temos
\mathbf{x}_1=\begin{pmatrix}2\\\\ -3{,}5\end{pmatrix}.

Passo 6

Passo n=1 (de t_1=0{,}25 para t_2=0{,}5):
Dados: x_{1,1}=2,\; x_{2,1}=-3{,}5.
Calculamos:
x_{1,2}=x_{1,1} + h\,x_{2,1}=2 + 0{,}25\cdot(-3{,}5)=2 - 0{,}875 = 1{,}125,
x_{2,2}=x_{2,1} + h\,(-7x_{1,1})=-3{,}5 + 0{,}25\cdot(-7\cdot 2)=-3{,}5 + 0{,}25\cdot(-14)=-3{,}5 - 3{,}5 = -7.
Portanto em t_2=0{,}5 temos
\mathbf{x}_2=\begin{pmatrix}1{,}125\\\\ -7\end{pmatrix}.

Passo 7

Passo n=2 (de t_2=0{,}5 para t_3=0{,}75):
Dados: x_{1,2}=1{,}125,\; x_{2,2}=-7.
Calculamos:
x_{1,3}=x_{1,2} + h\,x_{2,2}=1{,}125 + 0{,}25\cdot(-7)=1{,}125 - 1{,}75 = -0{,}625,
x_{2,3}=x_{2,2} + h\,(-7x_{1,2})=-7 + 0{,}25\cdot(-7\cdot 1{,}125)=-7 + 0{,}25\cdot(-7{,}875).
Calculemos 0{,}25\cdot 7{,}875 = 1{,}96875, então
x_{2,3}=-7 - 1{,}96875 = -8{,}96875.
Logo em t_3=0{,}75 temos
\mathbf{x}_3=\begin{pmatrix}-0{,}625\\\\ -8{,}96875\end{pmatrix}.

Passo 8

Passo n=3 (de t_3=0{,}75 para t_4=1{,}0):
Dados: x_{1,3}=-0{,}625,\; x_{2,3}=-8{,}96875.
Calculamos:
x_{1,4}=x_{1,3} + h\,x_{2,3}=-0{,}625 + 0{,}25\cdot(-8{,}96875)=-0{,}625 - 2{,}2421875 = -2{,}8671875,
x_{2,4}=x_{2,3} + h\,(-7x_{1,3})=-8{,}96875 + 0{,}25\cdot(-7\cdot(-0{,}625)).
Aqui -7\cdot(-0{,}625)=4{,}375, e 0{,}25\cdot 4{,}375=1{,}09375. Assim
x_{2,4}=-8{,}96875 + 1{,}09375 = -7{,}875.
Portanto em t_4=1{,}0 temos
\mathbf{x}_4=\begin{pmatrix}-2{,}8671875\\\\ -7{,}875\end{pmatrix}.

Passo 9

Resumo das aproximações obtidas pelos passos acima (Euler explícito, h=0{,}25):
\begin{aligned} t_0&=0: & \mathbf{x}_0 &= \begin{pmatrix}2\\[2pt] 0\end{pmatrix},\\[4pt] t_1&=0{,}25: & \mathbf{x}_1 &= \begin{pmatrix}2\\[2pt] -3{,}5\end{pmatrix},\\[4pt] t_2&=0{,}5: & \mathbf{x}_2 &= \begin{pmatrix}1{,}125\\[2pt] -7\end{pmatrix},\\[4pt] t_3&=0{,}75: & \mathbf{x}_3 &= \begin{pmatrix}-0{,}625\\[2pt] -8{,}96875\end{pmatrix},\\[4pt] t_4&=1{,}0: & \mathbf{x}_4 &= \begin{pmatrix}-2{,}8671875\\[2pt] -7{,}875\end{pmatrix}. \end{aligned}
Lembre que a primeira componente x_1 é a aproximação de y e a segunda x_2 é a aproximação de y'.]

Resposta

(a) \begin{cases} x_1' = x_2,\\[4pt] x_2' = -7x_1,\\[4pt] x_1(0)=2,\; x_2(0)=0, \end{cases}
(b) Aproximações pelo método de Euler com h=0{,}25:
\begin{aligned} t=0 &: \;(y,y')\approx (2,\;0),\\[4pt] t=0{,}25 &: \;(y,y')\approx (2,\;-3{,}5),\\[4pt] t=0{,}5 &: \;(y,y')\approx (1{,}125,\;-7),\\[4pt] t=0{,}75 &: \;(y,y')\approx (-0{,}625,\;-8{,}96875),\\[4pt] t=1{,}0 &: \;(y,y')\approx (-2{,}8671875,\;-7{,}875). \end{aligned}]

Exercícios relacionados