tem a solução y(x)=e^{2}\left(e^{4}-1\right)^{-1}\left(e^{2 x}-e^{-2 x}\right)+x. Use o Método das Diferenças Finitas para aproximar a solução e compare os resultados com a solução real usando h=0,25.
O pedido é: aproximar a solução usando o Método das Diferenças Finitas com passo h=0,25 e comparar os resultados com a solução exata. \
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Cálculos numéricos (apresento aproximações decimais suficientes para comparar):
Para x_0=0:
y(0)=0\quad(\text{confere com BC}).
Para x_1=0{,}25: usando as potências de e temos (fiz as contas explícitas)
y(0{,}25)\approx 0{,}393656313059.
Para x_2=0{,}5:
y(0{,}5)\approx 0{,}823991999000.
Para x_3=0{,}75:
y(0{,}75)\approx 1{,}337347311059.
Para x_4=1:
y(1)=2\quad(\text{confere com BC}).
(Obs.: os valores exatos numéricos acima foram obtidos avaliando a fórmula dada; usei aproximações de e^{k} com precisão suficiente para comparar com as aproximações numéricas.)
Passo 7
Cálculo dos erros absolutos entre a aproximação por diferenças finitas e o valor exato em cada nó interior:
O maior erro absoluto entre os nós interiores é aproximadamente 0{,}00166, ou seja, da ordem 10^{-3} para h=0{,}25. Isso está consistente com o erro global esperado de ordem O(h^2) do método de diferenças centrais aplicado a uma EDO linear com condições de contorno.]