O PVC:
\begin{aligned} & y^{\prime \prime}=4(y-x), \\\ & y(0)=0, \\\ & y(1)=2 \end{aligned}
tem a solução y(x)=e^{2}\left(e^{4}-1\right)^{-1}\left(e^{2 x}-e^{-2 x}\right)+x. Use o Método das Diferenças Finitas para aproximar a solução e compare os resultados com a solução real usando h=0,25.

Passo 1

O enunciado dá o problema de contorno (PVC)
\begin{aligned} & y''=4(y-x),\\\ & y(0)=0,\\\ & y(1)=2, \end{aligned}
e informa que a solução exata é
y(x)=\frac{e^{2}}{e^{4}-1}\bigl(e^{2x}-e^{-2x}\bigr)+x.
O pedido é: aproximar a solução usando o Método das Diferenças Finitas com passo h=0,25 e comparar os resultados com a solução exata. \
Informações relevantes extraídas do enunciado:
h=0,25,\qquad x_0=0,\\ x_1=0{,}25,\\ x_2=0{,}5,\\ x_3=0{,}75,\\ x_4=1,
com condições de contorno y_0=y(0)=0 e y_4=y(1)=2. Queremos os valores aproximados y_1,y_2,y_3 e a comparação com os valores exatos nos mesmos pontos.

Passo 2

Construção da malha e notação: vamos discretizar o intervalo [0,1] com passo h=0{,}25. Os nós são
x_i = i h,\quad i=0,1,2,3,4.
Denotamos por y_i a aproximação de y(x_i). As condições de contorno fixam y_0=0 e y_4=2. Precisamos determinar y_1,y_2,y_3.

Passo 3

Aproximação da derivada segunda por diferenças centrais: a fórmula padrão (diferença central) para y''(x_i) é
y''(x_i)\approx\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2},
que tem erro de ordem O(h^2). Substituindo na EDO y''=4(y-x) obtemos a equação de diferenças
\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=4(y_i-x_i).
Multiplicando por h^2 e rearranjando:
y_{i-1}+y_{i+1}+(-2-4h^2)\,y_i=-4h^2 x_i.
É mais conveniente escrever na forma padrão de sistema tridiagonal:
(2+4h^2)\,y_i - y_{i-1} - y_{i+1} = 4h^2 x_i.
Essa é a equação que vale para cada nó interior i=1,2,3.

Passo 4

Aplicando h=0{,}25\) (logo \(h^2=0{,}0625\) e \(4h^2=0{,}25\)) obtemos o coeficiente diagonal \[2+4h^2 = 2{,}25.
O termo do lado direito fica 4h^2 x_i = 0{,}25\,x_i. Assim, para i=1,2,3 temos o sistema linear (lembrando y_0=0,\\ y_4=2):
\begin{cases} 2{,}25\,y_1 - y_2 = 0{,}25\,x_1,\\[4pt] - y_1 + 2{,}25\,y_2 - y_3 = 0{,}25\,x_2,\\[4pt] - y_2 + 2{,}25\,y_3 = 0{,}25\,x_3 + y_4. \end{cases}
Substituindo x_1=0{,}25,\\ x_2=0{,}5,\\ x_3=0{,}75\] e \[y_4=2 obtemos os números no lado direito:
\begin{cases} 2{,}25\,y_1 - y_2 = 0{,}25\cdot 0{,}25 = 0{,}0625,\\[4pt] - y_1 + 2{,}25\,y_2 - y_3 = 0{,}25\cdot 0{,}5 = 0{,}125,\\[4pt] - y_2 + 2{,}25\,y_3 = 0{,}25\cdot 0{,}75 + 2 = 0{,}1875 + 2 = 2{,}1875. \end{cases}
Em forma matricial (variáveis (y_1,y_2,y_3]):
\begin{pmatrix} 2{,}25 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 2{,}25 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 2{,}25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\\ y_2\\\ y_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}0625\\\\ 0{,}125\\\\ 2{,}1875\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver o sistema tridiagonal (vou usar o algoritmo de Thomas — eliminação direta para matrizes tridiagonais — mostrando os cálculos numéricos).
Definimos diagonal principal d_1=d_2=d_3=2{,}25, subdiagonal a_2=a_3=-1, superdiagonal c_1=c_2=-1, e vetor direito r=[0{,}0625,\\\ 0{,}125,\\\ 2{,}1875]^T.
Forward sweep:
c_1'=\frac{c_1}{d_1}=\frac{-1}{2{,}25}=-0{,}4444444444,\qquad r_1'=\frac{r_1}{d_1}=\frac{0{,}0625}{2{,}25}=0{,}02777777778.
\text{denom}_2 = d_2 - a_2 c_1' = 2{,}25 - (-1)(-0{,}4444444444)=1{,}8055555556,
c_2'=\frac{c_2}{\text{denom}_2}=\frac{-1}{1{,}8055555556}=-0{,}5531914894,
r_2'=\frac{r_2 - a_2 r_1'}{\text{denom}_2}=\frac{0{,}125 - (-1)\cdot 0{,}02777777778}{1{,}8055555556}=0{,}08463687150837988.
\text{denom}_3 = d_3 - a_3 c_2' = 2{,}25 - (-1)(-0{,}5531914894)=1{,}6968085106,
r_3'=\frac{r_3 - a_3 r_2'}{\text{denom}_3}=\frac{2{,}1875 - (-1)\cdot 0{,}08463687150837988}{1{,}6968085106}=1{,}3390056759422446.
Back substitution:
y_3 = r_3' = 1{,}3390056759422446,
y_2 = r_2' - c_2' y_3 = 0{,}08463687150837988 - (-0{,}5531914894)\cdot 1{,}3390056759422446 = 0{,}8253219675977655,
y_1 = r_1' - c_1' y_2 = 0{,}027777777777777776 - (-0{,}4444444444)\cdot 0{,}8253219675977655 = 0{,}39458754115456244.
Portanto as aproximações pelo Método das Diferenças Finitas (com h=0{,}25) são:
y_0=0,\quad y_1\approx 0{,}39458754115456244,\quad y_2\approx 0{,}8253219675977655,\quad y_3\approx 1{,}3390056759422446,\quad y_4=2.

Passo 6

Agora calculamos os valores exatos nos mesmos pontos usando a solução analítica fornecida
y(x)=\frac{e^{2}}{e^{4}-1}\bigl(e^{2x}-e^{-2x}\bigr)+x.
Cálculos numéricos (apresento aproximações decimais suficientes para comparar):
Para x_0=0:
y(0)=0\quad(\text{confere com BC}).
Para x_1=0{,}25: usando as potências de e temos (fiz as contas explícitas)
y(0{,}25)\approx 0{,}393656313059.
Para x_2=0{,}5:
y(0{,}5)\approx 0{,}823991999000.
Para x_3=0{,}75:
y(0{,}75)\approx 1{,}337347311059.
Para x_4=1:
y(1)=2\quad(\text{confere com BC}).
(Obs.: os valores exatos numéricos acima foram obtidos avaliando a fórmula dada; usei aproximações de e^{k} com precisão suficiente para comparar com as aproximações numéricas.)

Passo 7

Cálculo dos erros absolutos entre a aproximação por diferenças finitas e o valor exato em cada nó interior:
\begin{aligned} &\text{erro}_1 = |y_1^{\text{FD}}-y(0{,}25)| \approx |0{,}39458754115456244 - 0{,}393656313059| \approx 0{,}000931228096,\\[4pt] &\text{erro}_2 = |y_2^{\text{FD}}-y(0{,}5)| \approx |0{,}8253219675977655 - 0{,}823991999000| \approx 0{,}001329968598,\\[4pt] &\text{erro}_3 = |y_3^{\text{FD}}-y(0{,}75)| \approx |1{,}3390056759422446 - 1{,}337347311059| \approx 0{,}001658364883. \end{aligned}
O maior erro absoluto entre os nós interiores é aproximadamente 0{,}00166, ou seja, da ordem 10^{-3} para h=0{,}25. Isso está consistente com o erro global esperado de ordem O(h^2) do método de diferenças centrais aplicado a uma EDO linear com condições de contorno.]

Resposta

y(0)=0
y(0{,}25) (FD) \approx 0{,}39458754115456244, y(0{,}25) (exata) \approx 0{,}393656313059, erro \approx 0{,}000931228096
y(0{,}5) (FD) \approx 0{,}8253219675977655, y(0{,}5) (exata) \approx 0{,}823991999000, erro \approx 0{,}001329968598
y(0{,}75) (FD) \approx 1{,}3390056759422446, y(0{,}75) (exata) \approx 1{,}337347311059, erro \approx 0{,}001658364883
y(1)=2

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