Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
.
Passo 1
Enunciado dado: classificar quanto ao tipo, ordem e linearidade a equação
O que se pede: determinar (1) o tipo da equação (por exemplo EDO ou EDP), (2) a ordem da equação (qual a maior derivada que aparece) e (3) se a equação é linear ou não (e justificar). Informações presentes: aparece
e a primeira derivada
; o independente é
(implícito no enunciado).
Passo 2
O que significa “tipo” numa classificação simples?
- Dizemos que uma equação é uma equação diferencial ordinária (EDO) quando a incógnita depende de apenas uma variável independente e aparecem derivadas ordinárias com respeito a essa variável.
- Dizemos que é uma equação diferencial parcial (EDP) quando a incógnita depende de mais de uma variável independente e aparecem derivadas parciais.
Aqui a equação envolve derivada ordináriaem relação a e apenas a função . Portanto vamos usar essa definição para decidir o tipo.
Passo 3
O que significa “ordem”?
- A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece na equação.
- Exemplo: numa equação com
o maior índice de derivada é , então a ordem é .
Para identificar a ordem, basta olhar para todas as derivadas presentes e escolher a de maior ordem.
Passo 4
O que é “linearidade” de uma EDO?
- Uma EDO é linear se puder ser escrita na forma
onde os coeficientes
e
dependem apenas da variável independente
(não dependem de
nem de
, etc.) e cada termo envolvendo
ou suas derivadas aparece apenas multiplicado por uma função de
(ou seja, aparece linearmente: sem potências, produtos entre
e
, nem funções não-lineares como
,
, etc.).
- Se existir qualquer termo não-linear em
ou em derivadas (por exemplo , , , , etc.), a equação é não linear. - Exemplo de equação linear de primeira ordem:
.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: identificar as derivadas presentes
- Na equação dada aparece apenas
(a primeira derivada) e (a própria função). - Não aparece
nem derivadas de ordem superior.
Logo, a maior derivada presente é, então a ordem da equação é .
Passo 6
Decidir o tipo usando o passo 2
- A equação envolve derivada ordinária
em relação a uma única variável e não envolve derivadas parciais nem múltiplas variáveis independentes.
Portanto é uma equação diferencial ordinária (EDO).
Passo 7
Analisar a linearidade usando o passo 4
- A equação é
- Note que existe o termo
: isto é uma potência da derivada, ou seja, um termo não-linear em . - Pela definição de linearidade, qualquer ocorrência de potências ou produtos envolvendo
ou suas derivadas torna a equação não linear. - Mesmo que
apareça em potência (linear em ), o termo é suficiente para concluir que a equação é não linear globalmente. - Observação extra (útil na prova): podemos isolar
como
mas isso não a transforma em linear — apenas mostra que a equação é explícita para
(com restrição de domínio
) e que há duas ramificações de sinal. Essa manipulação confirma a não linearidade porque o lado direito depende de
dentro de uma raiz.
Passo 8
Resumo lógico e confirmação
- Ordem encontrada no Passo 5:
. - Tipo encontrado no Passo 6: EDO (equação diferencial ordinária).
- Linearidade do Passo 7: não linear, porque existe o termo
, que viola a forma linear exigida (potência de derivada).
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: .
Linearidade: não linear.
Ordem:
Linearidade: não linear.