Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
\left(y^{\prime}\right)^{2}+y=x.

Passo 1

Enunciado dado: classificar quanto ao tipo, ordem e linearidade a equação
\left(y'\right)^{2} + y = x.
O que se pede: determinar (1) o tipo da equação (por exemplo EDO ou EDP), (2) a ordem da equação (qual a maior derivada que aparece) e (3) se a equação é linear ou não (e justificar). Informações presentes: aparece y e a primeira derivada y'; o independente é x (implícito no enunciado).

Passo 2

O que significa “tipo” numa classificação simples?
  • Dizemos que uma equação é uma equação diferencial ordinária (EDO) quando a incógnita depende de apenas uma variável independente e aparecem derivadas ordinárias com respeito a essa variável.
  • Dizemos que é uma equação diferencial parcial (EDP) quando a incógnita depende de mais de uma variável independente e aparecem derivadas parciais.
    Aqui a equação envolve derivada ordinária y' em relação a x e apenas a função y(x). Portanto vamos usar essa definição para decidir o tipo.

Passo 3

O que significa “ordem”?
  • A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece na equação.
  • Exemplo: numa equação com y'' o maior índice de derivada é 2, então a ordem é 2.
    Para identificar a ordem, basta olhar para todas as derivadas presentes e escolher a de maior ordem.

Passo 4

O que é “linearidade” de uma EDO?
  • Uma EDO é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = b(x),
onde os coeficientes a_k(x) e b(x) dependem apenas da variável independente x (não dependem de y nem de y', etc.) e cada termo envolvendo y ou suas derivadas aparece apenas multiplicado por uma função de x (ou seja, aparece linearmente: sem potências, produtos entre y e y', nem funções não-lineares como \sin(y), (y')^2, etc.).
  • Se existir qualquer termo não-linear em y ou em derivadas (por exemplo (y')^2, y^2, y\,y', \sin(y), etc.), a equação é não linear.
  • Exemplo de equação linear de primeira ordem: y' + p(x)\,y = q(x).

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: identificar as derivadas presentes
  • Na equação dada aparece apenas y' (a primeira derivada) e y (a própria função).
  • Não aparece y'' nem derivadas de ordem superior.
    Logo, a maior derivada presente é y', então a ordem da equação é \,1.

Passo 6

Decidir o tipo usando o passo 2
  • A equação envolve derivada ordinária y' em relação a uma única variável x e não envolve derivadas parciais nem múltiplas variáveis independentes.
    Portanto é uma equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 7

Analisar a linearidade usando o passo 4
  • A equação é
\left(y'\right)^{2} + y = x.
  • Note que existe o termo \left(y'\right)^{2}: isto é uma potência da derivada, ou seja, um termo não-linear em y'.
  • Pela definição de linearidade, qualquer ocorrência de potências ou produtos envolvendo y ou suas derivadas torna a equação não linear.
  • Mesmo que y apareça em potência 1 (linear em y), o termo \left(y'\right)^{2} é suficiente para concluir que a equação é não linear globalmente.
  • Observação extra (útil na prova): podemos isolar y' como
y' = \pm\sqrt{x - y},
mas isso não a transforma em linear — apenas mostra que a equação é explícita para y' (com restrição de domínio x-y\ge 0) e que há duas ramificações de sinal. Essa manipulação confirma a não linearidade porque o lado direito depende de y dentro de uma raiz.

Passo 8

Resumo lógico e confirmação
  • Ordem encontrada no Passo 5: \,1.
  • Tipo encontrado no Passo 6: EDO (equação diferencial ordinária).
  • Linearidade do Passo 7: não linear, porque existe o termo \left(y'\right)^{2}, que viola a forma linear exigida (potência de derivada).

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: 1.
Linearidade: não linear.

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