Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação
quanto ao tipo, ordem e linearidade. As informações relevantes são que a equação envolve a função desconhecida
e suas derivadas
e
, os coeficientes são
,
e
, e o lado direito da equação é
. Precisamos identificar o tipo da equação (ODE ou PDE), sua ordem, se é linear ou não, se é homogênea e se os coeficientes são constantes ou variáveis.
Passo 2
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivada da função desconhecida que aparece nela. Na equação dada, aparecem
(primeira derivada) e
(segunda derivada). Portanto, a ordem da equação é 2.
Passo 3
Uma equação é ordinária (ODE) quando envolve derivadas em relação a uma única variável independente (neste caso,
); é parcial (PDE) quando envolve derivadas parciais em relação a mais de uma variável. Como a equação dada apresenta apenas derivadas em relação a
, trata-se de uma equação diferencial ordinária (ODE).
Passo 4
Uma ODE é linear se a incógnita
e suas derivadas aparecem apenas em termos de primeira potência e não multiplicadas entre si, e os coeficientes desses termos podem depender somente da variável independente
(não podem depender de
ou de suas derivadas). Na equação dada, os termos são
,
e
. Cada termo é um coeficiente (função de
) multiplicando
ou uma derivada de
, sem produtos não lineares como
,
ou funções não lineares de
. Portanto, a equação é linear.
Passo 5
Uma equação linear é dita homogênea se o lado direito é
. Na equação dada, o lado direito é
, então a equação é uma ODE linear homogênea de segunda ordem.
Passo 6
Coeficientes constantes são números independentes de
; na equação dada, os coeficientes são
,
e
. Como
e
dependem de
, os coeficientes são variáveis. Logo, temos uma ODE linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis.
Passo 7
O coeficiente
exige que
, isto é, que
, para ser real e definido no sentido usual. Além disso, o coeficiente do termo de maior ordem é
; onde esse coeficiente se anula (em
) a forma padrão de equações de segunda ordem fica singular. Se quisermos escrever a equação na forma padrão
, dividimos por
(válido só quando
) e obtemos
Perto de
, expandindo
, vemos que
tem um termo
dominante, isto é, tem uma singularidade simples, e
tem uma singularidade de ordem 2. Isso mostra que
é um ponto singular regular (informação útil se for preciso usar série de Frobenius). Mas essa observação é adicional à classificação pedida.
Resposta
Equação diferencial ordinária de segunda ordem; linear; homogênea; com coeficientes variáveis (definida para
);
é ponto singular regular.