Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
x^{2} y^{\prime \prime}+\ln (1+x) y^{\prime}+y=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação x^{2} y''+\ln(1+x)\,y'+y=0 quanto ao tipo, ordem e linearidade. As informações relevantes são que a equação envolve a função desconhecida y e suas derivadas y' e y'', os coeficientes são x^{2}, \ln(1+x) e 1, e o lado direito da equação é 0. Precisamos identificar o tipo da equação (ODE ou PDE), sua ordem, se é linear ou não, se é homogênea e se os coeficientes são constantes ou variáveis.

Passo 2

A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivada da função desconhecida que aparece nela. Na equação dada, aparecem y' (primeira derivada) e y'' (segunda derivada). Portanto, a ordem da equação é 2.

Passo 3

Uma equação é ordinária (ODE) quando envolve derivadas em relação a uma única variável independente (neste caso, x); é parcial (PDE) quando envolve derivadas parciais em relação a mais de uma variável. Como a equação dada apresenta apenas derivadas em relação a x, trata-se de uma equação diferencial ordinária (ODE).

Passo 4

Uma ODE é linear se a incógnita y e suas derivadas aparecem apenas em termos de primeira potência e não multiplicadas entre si, e os coeficientes desses termos podem depender somente da variável independente x (não podem depender de y ou de suas derivadas). Na equação dada, os termos são x^{2}y'', \ln(1+x)\,y' e 1\cdot y. Cada termo é um coeficiente (função de x) multiplicando y ou uma derivada de y, sem produtos não lineares como y^2, y y' ou funções não lineares de y. Portanto, a equação é linear.

Passo 5

Uma equação linear é dita homogênea se o lado direito é 0. Na equação dada, o lado direito é 0, então a equação é uma ODE linear homogênea de segunda ordem.

Passo 6

Coeficientes constantes são números independentes de x; na equação dada, os coeficientes são x^{2}, \ln(1+x) e 1. Como x^{2} e \ln(1+x) dependem de x, os coeficientes são variáveis. Logo, temos uma ODE linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis.

Passo 7

O coeficiente \ln(1+x) exige que 1+x>0, isto é, que x>-1, para ser real e definido no sentido usual. Além disso, o coeficiente do termo de maior ordem é x^{2}; onde esse coeficiente se anula (em x=0) a forma padrão de equações de segunda ordem fica singular. Se quisermos escrever a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0, dividimos por x^{2} (válido só quando x\neq0) e obtemos
y''+\frac{\ln(1+x)}{x^{2}}\,y'+\frac{1}{x^{2}}\,y=0.
Perto de x=0, expandindo \ln(1+x)\approx x-\tfrac{x^{2}}{2}+\cdots, vemos que \dfrac{\ln(1+x)}{x^{2}} tem um termo \dfrac{1}{x} dominante, isto é, tem uma singularidade simples, e \dfrac{1}{x^{2}} tem uma singularidade de ordem 2. Isso mostra que x=0 é um ponto singular regular (informação útil se for preciso usar série de Frobenius). Mas essa observação é adicional à classificação pedida.

Resposta

Equação diferencial ordinária de segunda ordem; linear; homogênea; com coeficientes variáveis (definida para x>-1); x=0 é ponto singular regular.

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