Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=g(x).

Passo 1

O enunciado dá a equação
y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=g(x).
As tarefas pedidas são: classificar essa equação quanto ao tipo, quanto à ordem e quanto à linearidade. Informações dadas: p(x), q(x) e g(x) são funções de x (não foram especificadas além disso). Não há outras variáveis envolvidas no enunciado.

Passo 2

O que significa “tipo” aqui (como vou decidir)?
  • “Tipo” normalmente distingue equação diferencial ordinária (ODE) de equação diferencial parcial (PDE).
  • Critério: se há derivadas em relação a uma única variável independente (aqui x), é ODE; se há derivadas parciais em duas ou mais variáveis independentes, é PDE.
    Aplicando à equação dada: aparecem apenas derivadas ordinárias em relação a x ( y' e y''), portanto é uma equação diferencial ordinária.

Passo 3

O que significa “ordem” e como eu determino?
  • A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada presente nela. Ou seja, olhamos qual é a derivada de maior ordem que aparece.
  • Na equação dada a maior derivada é y'', que é a derivada de segunda ordem.
    Logo a ordem da equação é 2 (segunda ordem).

Passo 4

O que significa “linearidade”? Definição e critério prático.
  • Uma equação diferencial é linear em y se a função incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções que dependem apenas da variável independente (aqui x) e somadas entre si — isto é, não aparecem produtos entre y e y', nem potências como y^2, nem funções não-lineares de y (como \sin(y)).
  • Forma geral de uma equação linear de segunda ordem: \;a_2(x)\,y''+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = r(x), onde a_2,a_1,a_0,r dependem só de x.
  • Comparando com a equação dada, temos exatamente \;a_2(x)=1,\;a_1(x)=p(x),\;a_0(x)=q(x),\;r(x)=g(x). Não há termos como y^2 nem y\,y' nem \sin(y). Portanto a equação é linear.

Passo 5

Demonstração rápida de linearidade via operador linear (mostra por que é linear):
Defina o operador linear \mathcal{L} por
\mathcal{L}[y]=y''+p(x)\,y'+q(x)\,y.
Para quaisquer funções y_1,y_2 e quaisquer escalares c_1,c_2 temos
\mathcal{L}[c_1 y_1 + c_2 y_2] =(c_1 y_1 + c_2 y_2)'' + p(x)(c_1 y_1 + c_2 y_2)'+ q(x)(c_1 y_1 + c_2 y_2)
= c_1\mathcal{L}[y_1] + c_2\mathcal{L}[y_2],
mostrando a propriedade de linearidade do lado esquerdo. O termo g(x) é apenas uma função conhecida de x (termo independente), por isso a equação completa é linear não homogênea quando g(x)\neq 0.

Passo 6

Homogênea vs não-homogênea e coeficientes constantes vs variantes:
  • Se g(x)=0 a equação fica \;y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0 e chama-se equação linear homogênea de segunda ordem. Nesse caso vale o princípio da superposição: combinações lineares de soluções são soluções.
  • Se g(x)\neq 0 a equação é linear não-homogênea (também chamada forçada).
  • Observação sobre coeficientes: como p e q são dados como funções de x, em geral os coeficientes são variáveis (equação com coeficientes dependentes de x). Se, em algum caso particular, p(x) e q(x) forem constantes, a equação é um caso especial de equação linear de coeficientes constantes (mais fácil de resolver com métodos padrões).

Passo 7

Resumo didático rápido (para você memorizar):
  • Tipo: verificar se é ODE (uma variável independente) ou PDE (várias).
  • Ordem: olhar a maior derivada presente.
  • Linearidade: verificar se y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções da variável independente (nenhum produto não-linear entre ys nem funções não-lineares de y).
    Aplicando isso passo a passo à equação dada chegamos às classificações do próximo bloco.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária (ODE).
Ordem: segunda ordem.
Linearidade: linear (em geral linear não-homogênea; é homogênea somente se g(x)=0).

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