Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
As tarefas pedidas são: classificar essa equação quanto ao tipo, quanto à ordem e quanto à linearidade. Informações dadas:
,
e
são funções de
(não foram especificadas além disso). Não há outras variáveis envolvidas no enunciado.
Passo 2
O que significa “tipo” aqui (como vou decidir)?
- “Tipo” normalmente distingue equação diferencial ordinária (ODE) de equação diferencial parcial (PDE).
- Critério: se há derivadas em relação a uma única variável independente (aqui
), é ODE; se há derivadas parciais em duas ou mais variáveis independentes, é PDE.
Aplicando à equação dada: aparecem apenas derivadas ordinárias em relação a( e ), portanto é uma equação diferencial ordinária.
Passo 3
O que significa “ordem” e como eu determino?
- A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada presente nela. Ou seja, olhamos qual é a derivada de maior ordem que aparece.
- Na equação dada a maior derivada é
, que é a derivada de segunda ordem.
Logo a ordem da equação é 2 (segunda ordem).
Passo 4
O que significa “linearidade”? Definição e critério prático.
- Uma equação diferencial é linear em
se a função incógnita e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções que dependem apenas da variável independente (aqui ) e somadas entre si — isto é, não aparecem produtos entre e , nem potências como , nem funções não-lineares de (como ). - Forma geral de uma equação linear de segunda ordem:
, onde dependem só de . - Comparando com a equação dada, temos exatamente
. Não há termos como nem nem . Portanto a equação é linear.
Passo 5
Demonstração rápida de linearidade via operador linear (mostra por que é linear):
Defina o operador linear por
Defina o operador linear
Para quaisquer funções
e quaisquer escalares
temos
mostrando a propriedade de linearidade do lado esquerdo. O termo
é apenas uma função conhecida de
(termo independente), por isso a equação completa é linear não homogênea quando
.
Passo 6
Homogênea vs não-homogênea e coeficientes constantes vs variantes:
- Se
a equação fica e chama-se equação linear homogênea de segunda ordem. Nesse caso vale o princípio da superposição: combinações lineares de soluções são soluções. - Se
a equação é linear não-homogênea (também chamada forçada). - Observação sobre coeficientes: como
e são dados como funções de , em geral os coeficientes são variáveis (equação com coeficientes dependentes de ). Se, em algum caso particular, e forem constantes, a equação é um caso especial de equação linear de coeficientes constantes (mais fácil de resolver com métodos padrões).
Passo 7
Resumo didático rápido (para você memorizar):
- Tipo: verificar se é ODE (uma variável independente) ou PDE (várias).
- Ordem: olhar a maior derivada presente.
- Linearidade: verificar se
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções da variável independente (nenhum produto não-linear entre s nem funções não-lineares de ).
Aplicando isso passo a passo à equação dada chegamos às classificações do próximo bloco.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária (ODE).
Ordem: segunda ordem.
Linearidade: linear (em geral linear não-homogênea; é homogênea somente se ).
Ordem: segunda ordem.
Linearidade: linear (em geral linear não-homogênea; é homogênea somente se