Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que eu a classifique quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. Informações explícitas fornecidas: a incógnita é
(função de pelo menos duas variáveis, tipicamente
e
), aparecem as derivadas parciais
e
, e há um parâmetro/constante
. Não foi dado mais nada sobre
(por exemplo sinal), portanto vou tratar o caso geral e indicar observações quando
tomar valores especiais.
Passo 2
O que significa “tipo” aqui: primeiro preciso decidir se é uma equação ordinária (ODE) ou uma equação às derivadas parciais (PDE). Definição curta e didática: ODE envolve derivadas de uma função de uma única variável; PDE envolve derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis. Na equação dada aparecem derivadas parciais
e
, isto é, derivadas em relação a variáveis distintas (por exemplo
e
). Portanto é uma equação às derivadas parciais (PDE).
Passo 3
Ordem da equação — definição didática: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas (ordem) que aparece na equação. Em PDEs isso vale também: olha-se a maior ordem entre todas as derivadas parciais presentes. Na equação dada aparecem
(derivada de primeira ordem em
) e
(derivada de segunda ordem em
). A maior ordem é
. Logo a ordem da PDE é
.
Passo 4
Linearidade — definição didática e como testar: uma equação diferencial é linear se todas as ocorrências da função desconhecida
e de suas derivadas aparecem apenas com coeficientes que dependem nas variáveis independentes (por exemplo
) e nunca em
nem em funções não lineares de
(como
,
,
, etc.). Uma maneira prática é escrever a equação na forma
onde
é um operador linear (soma de termos proporcionais a
ou a derivadas de
com coeficientes que não dependem de
). Para a equação dada podemos reescrever:
Verifico que
para quaisquer constantes
e funções
, porque não há termos como
ou
. Portanto a equação é linear. Além disso, não há termo independente (fonte) do tipo
no lado direito — o lado direito é zero — então é uma equação linear homogênea.
Passo 5
Classificação em elíptica/hiperbólica/parabólica — explicação e aplicação: para PDEs de segunda ordem em duas variáveis (aqui
e
) usamos a forma geral
e definimos o discriminante
Se
a equação é hiperbólica, se
é elíptica e se
é parabólica. Vou pôr a equação dada na forma acima: escrevendo tudo à esquerda,
Comparando com a forma canônica:
,
,
. Então
Como
, a equação é parabólica. Observação prática: esta é a famosa equação do calor (heat equation), tipicamente com
(coeficiente de difusividade). Se
a equação degeneraria para
(uma equação de primeira ordem/trivial em
), e a classificação parabólica perde sentido nessa degenerescência; para
a classificação como parabólica vale.
Passo 6
Resumo interpretativo e exemplos comparativos (para memorizar): a equação dada é a equação do calor, que é parabólica — isso indica fenômenos de difusão (suavização no tempo). Para fixar a ideia, compare rapidamente:
- Equação da onda:
é hiperbólica (porque ). - Equação de Laplace:
é elíptica (porque ).
Esses exemplos ajudam a lembrar as três classes e o tipo de fenômenos que elas modelam.
Resposta
Tipo: parabólica (equação às derivadas parciais do tipo equação do calor).\nOrdem:
.\nLinearidade: linear e homogênea.