Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
u_{t}=k u_{x x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
u_{t}=k\,u_{x x}
e pede que eu a classifique quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. Informações explícitas fornecidas: a incógnita é u (função de pelo menos duas variáveis, tipicamente x e t), aparecem as derivadas parciais \,u_{t} e \,u_{xx}, e há um parâmetro/constante k. Não foi dado mais nada sobre k (por exemplo sinal), portanto vou tratar o caso geral e indicar observações quando k tomar valores especiais.

Passo 2

O que significa “tipo” aqui: primeiro preciso decidir se é uma equação ordinária (ODE) ou uma equação às derivadas parciais (PDE). Definição curta e didática: ODE envolve derivadas de uma função de uma única variável; PDE envolve derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis. Na equação dada aparecem derivadas parciais u_{t} e u_{xx}, isto é, derivadas em relação a variáveis distintas (por exemplo t e x). Portanto é uma equação às derivadas parciais (PDE).

Passo 3

Ordem da equação — definição didática: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas (ordem) que aparece na equação. Em PDEs isso vale também: olha-se a maior ordem entre todas as derivadas parciais presentes. Na equação dada aparecem \,u_{t} (derivada de primeira ordem em t) e \,u_{xx} (derivada de segunda ordem em x). A maior ordem é 2. Logo a ordem da PDE é 2.

Passo 4

Linearidade — definição didática e como testar: uma equação diferencial é linear se todas as ocorrências da função desconhecida u e de suas derivadas aparecem apenas com coeficientes que dependem nas variáveis independentes (por exemplo x,t) e nunca em u nem em funções não lineares de u (como u^2, \sin u, u\,u_x, etc.). Uma maneira prática é escrever a equação na forma L[u]=0 onde L é um operador linear (soma de termos proporcionais a u ou a derivadas de u com coeficientes que não dependem de u). Para a equação dada podemos reescrever:
L[u]:=u_{t}-k\,u_{xx}=0.
Verifico que L[a\,u+b\,v]=a\,L[u]+b\,L[v] para quaisquer constantes a,b e funções u,v, porque não há termos como (u)^2 ou u\cdot u_x. Portanto a equação é linear. Além disso, não há termo independente (fonte) do tipo f(x,t) no lado direito — o lado direito é zero — então é uma equação linear homogênea.

Passo 5

Classificação em elíptica/hiperbólica/parabólica — explicação e aplicação: para PDEs de segunda ordem em duas variáveis (aqui x e t) usamos a forma geral
A\,u_{xx}+2B\,u_{xt}+C\,u_{tt}+\text{(termos de ordem menor)}=0
e definimos o discriminante
\Delta=B^{2}-A\,C.
Se \Delta>0 a equação é hiperbólica, se \Delta<0 é elíptica e se \Delta=0 é parabólica. Vou pôr a equação dada na forma acima: escrevendo tudo à esquerda,
u_{t}-k\,u_{xx}=0 \quad\Longrightarrow\quad -k\,u_{xx}+1\cdot u_{t}+0\cdot u_{tt}+0\cdot u_{xt}=0.
Comparando com a forma canônica: A=-k, 2B=0\Rightarrow B=0, C=0. Então
\Delta = B^{2}-A\,C = 0^{2}-(-k)\cdot 0 = 0.
Como \Delta=0, a equação é parabólica. Observação prática: esta é a famosa equação do calor (heat equation), tipicamente com k>0 (coeficiente de difusividade). Se k=0 a equação degeneraria para u_{t}=0 (uma equação de primeira ordem/trivial em t), e a classificação parabólica perde sentido nessa degenerescência; para k\neq0 a classificação como parabólica vale.

Passo 6

Resumo interpretativo e exemplos comparativos (para memorizar): a equação dada é a equação do calor, que é parabólica — isso indica fenômenos de difusão (suavização no tempo). Para fixar a ideia, compare rapidamente:
  • Equação da onda: u_{tt}=c^{2}u_{xx} é hiperbólica (porque \Delta>0).
  • Equação de Laplace: u_{xx}+u_{yy}=0 é elíptica (porque \Delta<0).
    Esses exemplos ajudam a lembrar as três classes e o tipo de fenômenos que elas modelam.

Resposta

Tipo: parabólica (equação às derivadas parciais do tipo equação do calor).\nOrdem: 2.\nLinearidade: linear e homogênea.

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