Determinar rot vec{f}.
(b) vec{f}=\left(2 x^{2} y, 3 x z,-y\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar \operatorname{rot}\vec{f} (o rotor ou curl) da campo vetorial dado. As informações que temos são os componentes de \vec{f}:
\vec{f} = \left(2x^{2}y,\;3xz,\;-y\right).
Ou seja, definimos
f_{1}(x,y,z)=2x^{2}y,\qquad f_{2}(x,y,z)=3xz,\qquad f_{3}(x,y,z)=-y.
A única pergunta do enunciado é: calcular \operatorname{rot}\vec{f}.

Passo 2

Apresentação da fórmula e ideia do que é preciso calcular. O rotor em coordenadas cartesianas é dado por
\operatorname{rot}\vec{f}=\nabla\times\vec{f}=\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial y}-\frac{\partial f_{2}}{\partial z},\;\frac{\partial f_{1}}{\partial z}-\frac{\partial f_{3}}{\partial x},\;\frac{\partial f_{2}}{\partial x}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y}\right).
Explicando devagar: cada componente do rotor é a diferença entre derivadas parciais de componentes do campo. Derivada parcial significa derivar em relação a uma das variáveis mantendo as demais como constantes. Por exemplo, ao derivar f_{1}(x,y,z)=2x^{2}y em relação a x você trata y e z como constantes.

Passo 3

Calcular derivadas parciais necessárias — vou escrever cada uma e explicar o porquê:
Derivadas que aparecem na primeira componente:
\frac{\partial f_{3}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-y)=-1,
porque a derivada de -y em relação a y é -1.
\frac{\partial f_{2}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(3xz)=3x,
pois 3x é constante em relação a z e a derivada de z é 1.

Passo 4

Continuando com as derivadas para a segunda componente:
\frac{\partial f_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2x^{2}y)=0,
porque 2x^{2}y não depende de z (trata-se como constante), então a derivada em relação a z é zero.
\frac{\partial f_{3}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-y)=0,
pois -y não depende de x.

Passo 5

Derivadas necessárias para a terceira componente:
\frac{\partial f_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3xz)=3z,
porque derivando em x consideramos z constante.
\frac{\partial f_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x^{2}y)=2x^{2},
pois derivando em y o 2x^{2} é constante e a derivada de y é 1.

Passo 6

Agora montamos cada componente do rotor usando a fórmula do Passo 2 e os resultados dos passos anteriores.
Primeira componente:
\frac{\partial f_{3}}{\partial y}-\frac{\partial f_{2}}{\partial z} = (-1) - (3x) = -3x-1.
Segunda componente:
\frac{\partial f_{1}}{\partial z}-\frac{\partial f_{3}}{\partial x} = 0 - 0 = 0.
Terceira componente:
\frac{\partial f_{2}}{\partial x}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y} = 3z - 2x^{2}.

Passo 7

Juntando as três componentes, obtemos o rotor completo:
\operatorname{rot}\vec{f}=\left(-3x-1,\;0,\;3z-2x^{2}\right).

Resposta

\operatorname{rot}\vec{f}=\left(-3x-1,\;0,\;3z-2x^{2}\right)

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