Determinar as derivadas parciais
e
:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais
e
da função dada por
onde
e
Informações importantes dadas:
e queremos
e
.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): quando
é produto de duas funções
e
, usamos a regra do produto para derivadas parciais. A regra diz:
Aqui cada derivada parcial
trata
como constante, e
trata
como constante. Vamos calcular as derivadas parciais de
e
separadamente e depois aplicar a regra do produto.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Explicação: ao derivar em relação a
tratamos
como constante, e ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro, as derivadas das partes polinomiais são diretas:
Agora, a parte logarítmica
. Uma boa forma é usar a identidade
. Assim:
Portanto:
Passo 5
Aplicar a regra do produto para obter
.
Usando
substituímos os valores já calculados:
Passo 6
Simplificar
passo a passo.
Primeiro expandir os termos:
Somando:
Agrupando termos semelhantes (
):
Fatorando
para ficar mais compacto:
Passo 7
Aplicar a regra do produto para obter
.
Usando
substituímos:
Passo 8
Simplificar
passo a passo.
Expandindo os termos:
Somando:
Agrupando termos semelhantes (
):
Fatorando
para simplificar: