Determinar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} :
(e) z=u v, u=x y, v=x^{2}+y^{2}+\ln x y

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} da função dada por
z = u\,v,
onde
u = x y
e
v = x^{2} + y^{2} + \ln(xy).
Informações importantes dadas:
u(x,y)=xy,\qquad v(x,y)=x^{2}+y^{2}+\ln(xy),
e queremos \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): quando z é produto de duas funções u(x,y) e v(x,y), usamos a regra do produto para derivadas parciais. A regra diz:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Aqui cada derivada parcial \partial/\partial x trata y como constante, e \partial/\partial y trata x como constante. Vamos calcular as derivadas parciais de u e v separadamente e depois aplicar a regra do produto.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u(x,y)=xy.
Explicação: ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e ao derivar em relação a y tratamos x como constante.
\frac{\partial u}{\partial x}=y,
\frac{\partial u}{\partial y}=x.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de v(x,y)=x^{2}+y^{2}+\ln(xy).
Primeiro, as derivadas das partes polinomiais são diretas:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
Agora, a parte logarítmica \ln(xy). Uma boa forma é usar a identidade \ln(xy)=\ln x+\ln y. Assim:
\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy)=\frac{\partial}{\partial x}(\ln x+\ln y)=\frac{1}{x}+0=\frac{1}{x},
\frac{\partial}{\partial y}\ln(xy)=\frac{\partial}{\partial y}(\ln x+\ln y)=0+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}.
Portanto:
\frac{\partial v}{\partial x}=2x+\frac{1}{x},
\frac{\partial v}{\partial y}=2y+\frac{1}{y}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto para obter \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}.
Usando
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x},
substituímos os valores já calculados:
\frac{\partial z}{\partial x}=y\bigl(x^{2}+y^{2}+\ln(xy)\bigr)+xy\bigl(2x+\tfrac{1}{x}\bigr).

Passo 6

Simplificar \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} passo a passo.
Primeiro expandir os termos:
y(x^{2}+y^{2}+\ln(xy))=x^{2}y+y^{3}+y\ln(xy),
xy\left(2x+\tfrac{1}{x}\right)=2x^{2}y+xy\cdot\tfrac{1}{x}=2x^{2}y+y.
Somando:
\frac{\partial z}{\partial x}=x^{2}y+y^{3}+y\ln(xy)+2x^{2}y+y.
Agrupando termos semelhantes ( x^{2}y+2x^{2}y=3x^{2}y):
\frac{\partial z}{\partial x}=3x^{2}y+y^{3}+y\ln(xy)+y.
Fatorando y para ficar mais compacto:
\frac{\partial z}{\partial x}=y\bigl(3x^{2}+y^{2}+\ln(xy)+1\bigr).

Passo 7

Aplicar a regra do produto para obter \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}.
Usando
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y},
substituímos:
\frac{\partial z}{\partial y}=x\bigl(x^{2}+y^{2}+\ln(xy)\bigr)+xy\bigl(2y+\tfrac{1}{y}\bigr).

Passo 8

Simplificar \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y} passo a passo.
Expandindo os termos:
x(x^{2}+y^{2}+\ln(xy))=x^{3}+x y^{2}+x\ln(xy),
xy\left(2y+\tfrac{1}{y}\right)=2x y^{2}+xy\cdot\tfrac{1}{y}=2x y^{2}+x.
Somando:
\frac{\partial z}{\partial y}=x^{3}+x y^{2}+x\ln(xy)+2x y^{2}+x.
Agrupando termos semelhantes ( x y^{2}+2x y^{2}=3x y^{2}):
\frac{\partial z}{\partial y}=x^{3}+3x y^{2}+x\ln(xy)+x.
Fatorando x para simplificar:
\frac{\partial z}{\partial y}=x\bigl(x^{2}+3y^{2}+\ln(xy)+1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=y\bigl(3x^{2}+y^{2}+\ln(xy)+1\bigr)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=x\bigl(x^{2}+3y^{2}+\ln(xy)+1\bigr)

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