Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
x y^{\prime}+y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x\,y' + y = x^{2}
e pede que eu classifique essa equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
Informações relevantes fornecidas: a equação envolve a derivada de y em relação a x (escrita aqui como y'), os coeficientes dependem de x e o termo do lado direito é x^{2}.

Passo 2

O que significa cada classificação (explicação didática curta e direta):
  • Tipo: diz se é uma equação diferencial ordinária (uma variável independente, aqui x) ou parcial (mais de uma variável independente).
    Exemplo simples: \frac{dy}{dx}=2x é ordinária; \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0 é parcial.
  • Ordem: é a maior ordem de derivada que aparece na equação.
    Exemplo: se aparece \frac{d^{2}y}{dx^{2}} a ordem é \,2; se aparece só y' a ordem é \,1.
  • Linearidade: uma equação diferencial é linear em y (e suas derivadas) se cada termo que envolve y ou derivadas de y aparece apenas multiplicado por funções de x (não por funções de y) e sem produtos entre y e suas derivadas, nem potências não lineares. A forma geral da linear de primeira ordem é
y' + p(x)\,y = q(x).
Se q(x)\equiv 0 chamamos de homogênea; caso contrário, não homogênea.

Passo 3

Determinar a ordem: na equação dada aparece apenas y' (a primeira derivada) e nenhuma derivada de ordem superior. Portanto a ordem é \,1.

Passo 4

Determinar o tipo: a derivada presente é y', derivada em relação a uma única variável x. Logo trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 5

Verificação da linearidade passo a passo e reescrita na forma padrão:
A equação é
x\,y' + y = x^{2}.
Para comparar com a forma padrão \,y' + p(x)\,y = q(x), divido tudo por x (quando x\neq 0):
y' + \frac{1}{x}\,y = x.
Aqui p(x)=\frac{1}{x} e q(x)=x, ambas funções apenas de x. Não há termos como (y')^{2}, y^{2}, y\cdot y' ou funções não lineares de y. Portanto a equação é linear em y.

Passo 6

Determinar se é homogênea ou não:
Na forma padrão \,y' + p(x)\,y = q(x) o lado direito é q(x)=x, que não é identicamente zero. Logo a equação é linear não homogênea.

Passo 7

Observações úteis (que ajudam na prova):
  • A reescrita \,y' + \frac{1}{x}y = x mostra que o fator integrante pode ser usado para resolver a equação (fator integrante \mu(x)=e^{\int \frac{1}{x}dx}=|x|, tomando cuidado com o sinal/intervalo de x).
  • Pela divisão por x ficou explícito que o ponto x=0 é singular (o coeficiente \frac{1}{x} explode), então a classificação linear vale em intervalos onde x\neq 0.

Resposta

Tipo: Equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: \,1.
Linearidade: Linear não homogênea (forma padrão \,y' + \dfrac{1}{x}y = x).

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