Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que eu classifique essa equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
Informações relevantes fornecidas: a equação envolve a derivada de em relação a
(escrita aqui como
), os coeficientes dependem de
e o termo do lado direito é
.
Informações relevantes fornecidas: a equação envolve a derivada de
Passo 2
O que significa cada classificação (explicação didática curta e direta):
- Tipo: diz se é uma equação diferencial ordinária (uma variável independente, aqui
) ou parcial (mais de uma variável independente).
Exemplo simples:é ordinária; é parcial. - Ordem: é a maior ordem de derivada que aparece na equação.
Exemplo: se aparecea ordem é ; se aparece só a ordem é . - Linearidade: uma equação diferencial é linear em
(e suas derivadas) se cada termo que envolve ou derivadas de aparece apenas multiplicado por funções de (não por funções de ) e sem produtos entre e suas derivadas, nem potências não lineares. A forma geral da linear de primeira ordem é
Se
chamamos de homogênea; caso contrário, não homogênea.
Passo 3
Determinar a ordem: na equação dada aparece apenas
(a primeira derivada) e nenhuma derivada de ordem superior. Portanto a ordem é
.
Passo 4
Determinar o tipo: a derivada presente é
, derivada em relação a uma única variável
. Logo trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO).
Passo 5
Verificação da linearidade passo a passo e reescrita na forma padrão:
A equação é
A equação é
Para comparar com a forma padrão
, divido tudo por
(quando
):
Aqui
e
, ambas funções apenas de
. Não há termos como
,
,
ou funções não lineares de
. Portanto a equação é linear em
.
Passo 6
Determinar se é homogênea ou não:
Na forma padrão o lado direito é
, que não é identicamente zero. Logo a equação é linear não homogênea.
Na forma padrão
Passo 7
Observações úteis (que ajudam na prova):
- A reescrita
mostra que o fator integrante pode ser usado para resolver a equação (fator integrante , tomando cuidado com o sinal/intervalo de ). - Pela divisão por
ficou explícito que o ponto é singular (o coeficiente explode), então a classificação linear vale em intervalos onde .
Resposta
Tipo: Equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: .
Linearidade: Linear não homogênea (forma padrão ).
Ordem:
Linearidade: Linear não homogênea (forma padrão