Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
y^{\prime \prime \prime}+x y^{\prime}-\operatorname{sen} x=0.

Passo 1

Enunciado dado: a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}+x\,y^{\prime}-\operatorname{sen}x=0.
Pergunta: classificar a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
Informações relevantes do enunciado: a equação envolve derivadas de y em relação a x; aparece o termo \operatorname{sen}x (função conhecida de x) e um fator x multiplicando y^{\prime}.

Passo 2

O que significa “tipo” aqui — como identificamos o tipo de equação?
  • Se as derivadas são ordinárias (derivadas totais em relação a uma única variável independente), é uma equação diferencial ordinária (EDO).
  • Se aparecessem derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente, seria uma equação diferencial parcial (EDP).
    Na equação dada todas as derivadas são de y em relação a uma única variável x, por isso é uma equação diferencial ordinária. Não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes.

Passo 3

Como determinamos a ordem da equação?
  • A ordem de uma equação diferencial é a ordem mais alta de derivada presente.
    Na equação aparece y^{\prime\prime\prime} (derivada terceira de y). Portanto a ordem é 3.

Passo 4

O que significa ser linear ou não linear e como testar isso?
  • Uma EDO é linear se a função incógnita y e suas derivadas aparecem apenas em termos de primeira potência (não multiplicados entre si, sem funções não-lineares de y como \sin y, y^2, (y')^2, etc.) e os coeficientes desses termos podem depender da variável independente x mas não de y.
  • Formalmente, uma equação de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = g(x),
onde os a_i(x) e g(x) dependem só de x.
Vamos colocar a equação numa forma semelhante. Movo o termo -\operatorname{sen}x para o outro lado:
y^{\prime\prime\prime}+x\,y^{\prime}=\operatorname{sen}x.
Aqui podemos identificar a_3(x)=1, a_2(x)=0, a_1(x)=x, a_0(x)=0 e g(x)=\operatorname{sen}x. Todos os coeficientes dependem apenas de x e não há produtos ou potências de y ou de suas derivadas. Portanto a equação é linear.

Passo 5

Homogeneidade e coeficientes constantes/variáveis (detalhe importante para a prova)
  • Se g(x) (termo do lado direito) for identicamente zero, a equação é homogênea; caso contrário é não homogênea (ouforçada). Aqui temos g(x)=\operatorname{sen}x\neq 0, então a equação é não homogênea.
  • Se todos os coeficientes a_i(x) forem constantes (não dependem de x), dizemos “coeficientes constantes”. Se dependem de x, são “coeficientes variáveis”. Aqui a_1(x)=x depende de x, logo os coeficientes são variáveis.

Passo 6

Resumo final da classificação (repetindo de forma clara para decorar na prova):
  • Tipo: equação diferencial ordinária (EDO), porque derivações são em relação a uma única variável x.
  • Ordem: terceira ordem, pois aparece y^{\prime\prime\prime}.
  • Linearidade: linear, não homogênea, com coeficientes dependentes de x (coeficientes variáveis).

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: 3.
Linearidade: linear, não homogênea, com coeficientes variáveis (coeficiente de y' é x).

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