Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
.
Passo 1
Enunciado dado: a equação diferencial
Pergunta: classificar a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
Informações relevantes do enunciado: a equação envolve derivadas de em relação a
; aparece o termo
(função conhecida de
) e um fator
multiplicando
.
Informações relevantes do enunciado: a equação envolve derivadas de
Passo 2
O que significa “tipo” aqui — como identificamos o tipo de equação?
- Se as derivadas são ordinárias (derivadas totais em relação a uma única variável independente), é uma equação diferencial ordinária (EDO).
- Se aparecessem derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente, seria uma equação diferencial parcial (EDP).
Na equação dada todas as derivadas são deem relação a uma única variável , por isso é uma equação diferencial ordinária. Não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes.
Passo 3
Como determinamos a ordem da equação?
- A ordem de uma equação diferencial é a ordem mais alta de derivada presente.
Na equação aparece(derivada terceira de ). Portanto a ordem é .
Passo 4
O que significa ser linear ou não linear e como testar isso?
- Uma EDO é linear se a função incógnita
e suas derivadas aparecem apenas em termos de primeira potência (não multiplicados entre si, sem funções não-lineares de como , , , etc.) e os coeficientes desses termos podem depender da variável independente mas não de . - Formalmente, uma equação de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde os
e
dependem só de
.
Vamos colocar a equação numa forma semelhante. Movo o termo para o outro lado:
Vamos colocar a equação numa forma semelhante. Movo o termo
Aqui podemos identificar
,
,
,
e
. Todos os coeficientes dependem apenas de
e não há produtos ou potências de
ou de suas derivadas. Portanto a equação é linear.
Passo 5
Homogeneidade e coeficientes constantes/variáveis (detalhe importante para a prova)
- Se
(termo do lado direito) for identicamente zero, a equação é homogênea; caso contrário é não homogênea (ouforçada). Aqui temos , então a equação é não homogênea. - Se todos os coeficientes
forem constantes (não dependem de ), dizemos “coeficientes constantes”. Se dependem de , são “coeficientes variáveis”. Aqui depende de , logo os coeficientes são variáveis.
Passo 6
Resumo final da classificação (repetindo de forma clara para decorar na prova):
- Tipo: equação diferencial ordinária (EDO), porque derivações são em relação a uma única variável
. - Ordem: terceira ordem, pois aparece
. - Linearidade: linear, não homogênea, com coeficientes dependentes de
(coeficientes variáveis).
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: .
Linearidade: linear, não homogênea, com coeficientes variáveis (coeficiente de é
).
Ordem:
Linearidade: linear, não homogênea, com coeficientes variáveis (coeficiente de