Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
y^{(4)}+\cos x y=\operatorname{sen} x.

Passo 1

Enunciado dado: a equação é \;y^{(4)}+\cos x\,y=\operatorname{sen} x\;.
O que o problema pede: classificar a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
Informações relevantes fornecidas: a incógnita é a função y de uma única variável x; aparecem derivadas de y (até a quarta ordem) e funções de x (como \cos x e \operatorname{sen} x).

Passo 2

O que significa “tipo” aqui e como identificar:
  • “Tipo” normalmente distingue equação diferencial ordinária (EDO) de equação diferencial parcial (EDP).
  • Uma EDO envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente; uma EDP envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
    Na equação temos somente derivadas ordinárias de y em relação a x (aparece y^{(4)}), sem derivadas parciais. Portanto trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 3

O que significa “ordem” e como determinar:
  • A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada de y que aparece na equação.
  • Exemplo simples: em \;y''+y=0\; a maior derivada é y'' então a ordem é 2.
    Na equação dada a maior derivada presente é \;y^{(4)}\;. Logo a ordem é 4.

Passo 4

O que significa “linearidade” e como verificar passo a passo:
  • Uma EDO de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) e o termo g(x) dependem somente da variável independente x, e a função incógnita y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por essas funções (ou seja, não aparecem termos como y^2, \sin y, y\,y', etc.).
  • Exemplo: \;y''+e^x y = \sin x\; é linear porque y'' e y aparecem apenas multiplicados por funções de x.
    Agora comparar com a equação dada: podemos identificar
a_4(x)=1,\quad a_3(x)=0,\quad a_2(x)=0,\quad a_1(x)=0,\quad a_0(x)=\cos x,\quad g(x)=\operatorname{sen} x.
Nessa identificação, todos os a_i dependem só de x e y e suas derivadas aparecem com potência 1 e não aparecem produtos entre elas nem funções não lineares de y. Portanto a equação é linear.
  • Observação extra: como algum coeficiente (aqui a_0(x)=\cos x) depende de x, é uma equação linear com coeficientes variáveis (não são constantes).
  • Outra observação: se g(x)=0 a equação seria homogênea; aqui g(x)=\operatorname{sen} x\neq 0, então é não homogênea.

Passo 5

Resumo didático final (para você decorar na prova):
  • Verifique se aparecem derivadas parciais → se não, é EDO.
  • Ache a maior derivada → isso dá a ordem.
  • Veja se y e suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e sem multiplicar entre si ou entrar em funções não-lineares → se sim e os coeficientes dependem só de x, é linear; cheque se os coeficientes são constantes ou variáveis; cheque g(x) para ver se é homogênea ( g\equiv0) ou não.
    Aplicando isso à equação dada chegamos à classificação completa abaixo.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: 4.
Linearidade: linear, com coeficientes variáveis ( \cos x), não homogênea (termo não nulo \operatorname{sen} x).

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