Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
.
Passo 1
Enunciado dado: a equação é
.
O que o problema pede: classificar a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
Informações relevantes fornecidas: a incógnita é a função de uma única variável
; aparecem derivadas de
(até a quarta ordem) e funções de
(como
e
).
O que o problema pede: classificar a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
Informações relevantes fornecidas: a incógnita é a função
Passo 2
O que significa “tipo” aqui e como identificar:
- “Tipo” normalmente distingue equação diferencial ordinária (EDO) de equação diferencial parcial (EDP).
- Uma EDO envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente; uma EDP envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
Na equação temos somente derivadas ordinárias deem relação a (aparece ), sem derivadas parciais. Portanto trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO).
Passo 3
O que significa “ordem” e como determinar:
- A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada de
que aparece na equação. - Exemplo simples: em
a maior derivada é então a ordem é 2.
Na equação dada a maior derivada presente é. Logo a ordem é 4.
Passo 4
O que significa “linearidade” e como verificar passo a passo:
- Uma EDO de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo
dependem somente da variável independente
, e a função incógnita
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por essas funções (ou seja, não aparecem termos como
,
,
, etc.).
- Exemplo:
é linear porque e aparecem apenas multiplicados por funções de .
Agora comparar com a equação dada: podemos identificar
Nessa identificação, todos os
dependem só de
e
e suas derivadas aparecem com potência 1 e não aparecem produtos entre elas nem funções não lineares de
. Portanto a equação é linear.
- Observação extra: como algum coeficiente (aqui
) depende de , é uma equação linear com coeficientes variáveis (não são constantes). - Outra observação: se
a equação seria homogênea; aqui , então é não homogênea.
Passo 5
Resumo didático final (para você decorar na prova):
- Verifique se aparecem derivadas parciais → se não, é EDO.
- Ache a maior derivada → isso dá a ordem.
- Veja se
e suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e sem multiplicar entre si ou entrar em funções não-lineares → se sim e os coeficientes dependem só de , é linear; cheque se os coeficientes são constantes ou variáveis; cheque para ver se é homogênea ( ) ou não.
Aplicando isso à equação dada chegamos à classificação completa abaixo.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária (EDO).
Ordem: .
Linearidade: linear, com coeficientes variáveis ( ), não homogênea (termo não nulo
).
Ordem:
Linearidade: linear, com coeficientes variáveis (