Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas equações podem ser mais de um tipo. Não as resolva.
\frac{d y}{d x}=6 \sqrt{1} y^{2}
\frac{d y}{d x}=6 \sqrt{1} y^{2}
Passo 1
O enunciado pede: classificar a equação diferencial abaixo entre os tipos possíveis (separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli). A equação dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação é de primeira ordem (aparece
). - O lado direito é uma função que envolve apenas
(e um fator constante ). - Não é pedido para resolver a equação, apenas classificá‑la.
Passo 2
Verificando se a equação é separável.
Definição: uma equação de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
Definição: uma equação de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
onde
depende só de
e
depende só de
. Isso permite separar variáveis e integrar cada lado separadamente. Aqui, observe o lado direito:
Como
, esse coeficiente é apenas a constante
. Logo podemos escrever
ou seja
(função de
constante) e
(função só de
). Portanto a equação é separável. Exemplo simples para fixar a ideia:
também é separável porque é
e
.
Passo 3
Verificando se a equação é exata.
Definição prática: escrevemos a equação na forma diferencial
Definição prática: escrevemos a equação na forma diferencial
A equação é exata se
no domínio considerado. Reescrevendo nossa equação:
Aqui
e
. Calculando parciais:
Como
em geral, temos
. Conclusão: a equação não é exata.
Passo 4
Verificando se a equação é linear de primeira ordem.
Definição: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
Definição: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
dependem apenas de
. Em particular a dependência em
é linear (aparece
multiplicado por uma função de
, não
,
com
, etc.). Reescrevendo nossa equação:
vê‑se o termo
, que é não linear em
. Portanto a equação não é linear.
Passo 5
Verificando se a equação é de Bernoulli.
Definição: a equação de Bernoulli tem a forma
Definição: a equação de Bernoulli tem a forma
com
real. Essa é uma equação não linear que, para
, pode ser transformada em linear por uma substituição adequada. Nossa equação pode ser escrita como
então aqui
,
e
. Isso está exatamente na forma de Bernoulli com
. Conclusão: a equação é do tipo Bernoulli (com
). Observação: ser de Bernoulli e ser separável não é contraditório — algumas Bernoulli com certos
também são separáveis; neste caso ambas as classificações valem.
Passo 6
Verificando se a equação é homogênea (no sentido usual para ODEs de primeira ordem).
Definição usada aqui: uma equação escrita é chamada homogênea (no sentido de substituição
) se
para todo
(ou equivalentemente se
depende apenas da razão
). No nosso caso
. Testando homogeneidade:
Definição usada aqui: uma equação escrita
Isso mostra que
é homogênea de grau
, não de grau
; portanto
não depende só de
. Assim, na acepção habitual de “equação homogênea” (dependência apenas de
), a equação não é homogênea. (Além disso, “homogênea” é às vezes usado para “linear homogênea” — mas já vimos que a equação não é linear.)
Passo 7
Resumo final: a equação pertence a alguns tipos e não a outros. Eu sei que parece muita classificação, mas lembra: como o lado direito depende só de
e é um monômio em
, isso facilitou várias checagens. Força aí — você já identificou os padrões principais.
Resposta
Separável; Bernoulli (com
).