Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas equações podem ser mais de um tipo. Não as resolva.
\frac{d y}{d x}=6 \sqrt{1} y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: classificar a equação diferencial abaixo entre os tipos possíveis (separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli). A equação dada é
\frac{dy}{dx}=6\sqrt{1}\,y^{2}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação é de primeira ordem (aparece \frac{dy}{dx}).
  • O lado direito é uma função que envolve apenas y (e um fator constante 6\sqrt{1}).
  • Não é pedido para resolver a equação, apenas classificá‑la.

Passo 2

Verificando se a equação é separável.
Definição: uma equação de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
onde g(x) depende só de x e h(y) depende só de y. Isso permite separar variáveis e integrar cada lado separadamente. Aqui, observe o lado direito:
6\sqrt{1}\,y^{2}.
Como \sqrt{1}=1, esse coeficiente é apenas a constante 6. Logo podemos escrever
\frac{dy}{dx}=(6)\cdot y^{2},
ou seja g(x)=6 (função de x constante) e h(y)=y^{2} (função só de y). Portanto a equação é separável. Exemplo simples para fixar a ideia: \frac{dy}{dx}=x\,y também é separável porque é g(x)=x e h(y)=y.

Passo 3

Verificando se a equação é exata.
Definição prática: escrevemos a equação na forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
A equação é exata se \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} no domínio considerado. Reescrevendo nossa equação:
\frac{dy}{dx}=6y^{2}\quad\Longrightarrow\quad -6y^{2}\,dx + 1\cdot dy = 0.
Aqui M(x,y)=-6y^{2} e N(x,y)=1. Calculando parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=-12y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Como -12y\neq 0 em geral, temos \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}. Conclusão: a equação não é exata.

Passo 4

Verificando se a equação é linear de primeira ordem.
Definição: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P e Q dependem apenas de x. Em particular a dependência em y é linear (aparece y multiplicado por uma função de x, não y^2, y^n com n\neq1, etc.). Reescrevendo nossa equação:
\frac{dy}{dx}-6y^{2}=0,
vê‑se o termo y^{2}, que é não linear em y. Portanto a equação não é linear.

Passo 5

Verificando se a equação é de Bernoulli.
Definição: a equação de Bernoulli tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com n real. Essa é uma equação não linear que, para n\neq0,1, pode ser transformada em linear por uma substituição adequada. Nossa equação pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}+0\cdot y=6\,y^{2},
então aqui P(x)=0, Q(x)=6 e n=2. Isso está exatamente na forma de Bernoulli com n=2. Conclusão: a equação é do tipo Bernoulli (com n=2). Observação: ser de Bernoulli e ser separável não é contraditório — algumas Bernoulli com certos n também são separáveis; neste caso ambas as classificações valem.

Passo 6

Verificando se a equação é homogênea (no sentido usual para ODEs de primeira ordem).
Definição usada aqui: uma equação escrita \frac{dy}{dx}=f(x,y) é chamada homogênea (no sentido de substituição y=ux) se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t (ou equivalentemente se f depende apenas da razão y/x). No nosso caso f(x,y)=6y^{2}. Testando homogeneidade:
f(tx,ty)=6(ty)^{2}=6t^{2}y^{2}=t^{2}f(x,y).
Isso mostra que f é homogênea de grau 2, não de grau 0; portanto f não depende só de y/x. Assim, na acepção habitual de “equação homogênea” (dependência apenas de y/x), a equação não é homogênea. (Além disso, “homogênea” é às vezes usado para “linear homogênea” — mas já vimos que a equação não é linear.)

Passo 7

Resumo final: a equação pertence a alguns tipos e não a outros. Eu sei que parece muita classificação, mas lembra: como o lado direito depende só de y e é um monômio em y, isso facilitou várias checagens. Força aí — você já identificou os padrões principais.

Resposta

Separável; Bernoulli (com n=2).

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