Escolha quatro equações e, em cada caso, resolva-as citando o método aplicado:
3 y+\left(e^{x}\right)+(3 x+\cos y) \frac{d y}{d x}=0
3 y+\left(e^{x}\right)+(3 x+\cos y) \frac{d y}{d x}=0
Passo 1
Você pediu que eu escolha quatro equações e, em cada caso, resolva-as citando o método aplicado. Vou resolver as seguintes quatro equações (cada uma é uma pequena tarefa independente). O que se pede em cada caso é encontrar a solução geral (constante de integração arbitrária). As equações escolhidas são:
Nos próximos passos eu resolvo uma por uma, explicando cuidadosamente o método aplicado e cada passo das contas para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 2
Equação (I): reescrevendo a equação numa forma diferencial de 1-forma. Começo multiplicando ambos os lados por
para ter termos em
e
:
Aqui eu tenho uma 1-forma
com
O método que vou aplicar é o de equação exata: procuro ver se existe uma função potencial
tal que
e
.
Passo 3
Verificação de exatidão e construção da função potencial. Calculo as derivadas parciais:
Como
, a forma é exata — ótimo sinal. Isso significa que existe
tal que
Integro
em relação a
tratando
como constante:
onde
é uma função de
somente (constante de integração "dependente de
").
Passo 4
Determino
comparando
com
. Calculo
Como isso deve ser igual a
, segue
Portanto a função potencial é
A solução implícita da equação diferencial é dada por
.
Passo 5
Conclusão para (I). Escrevendo a solução geral (absorvendo
numa constante
):
Explicação prática: em prova, quando você reconhecer
e verificar
, pare de buscar separação ou fator integrante — é exata e você integra
em
e ajusta com uma função de
.
Passo 6
Equação (II): identificar a forma. Está escrita como
Isto é uma equação linear de primeira ordem para
no formato
com
e
. O método é fator integrante (integrating factor).
Passo 7
Construção do fator integrante. O fator integrante é
onde usei que
(como dado no enunciado) para manipular
sem problemas.
Passo 8
Multiplico a equação original por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Integro em
:
Isolo
:
Passo 9
Resumo do método linear/integrating factor para (II): lembre que o truque é transformar o lado esquerdo numa derivada exata
escolhendo
. Na prova, calcule
com calma e verifique a simplificação antes de integrar.
Passo 10
Equação (III): é
Aqui a equação é separável: os termos contendo
podem ser colocados num lado e os contendo
no outro. O método é separar e integrar.
Passo 11
Separo as variáveis. Divido ambos os lados por
(assumindo
— a solução
também deve ser verificada depois) e multiplico por
:
Agora integro ambos os lados.
Passo 12
Integração. À esquerda
. À direita
usa substituição
,
, então a integral é
. Assim
Exponenciando,
Absorvendo o sinal e
numa constante arbitrária
,
Lembre também da solução trivial
(corresponde a
).
Passo 13
Dica para separáveis: sempre verifique soluções constantes que podem ser perdidas quando você divide por
ou por outra expressão que pode ser zero. A integral
é um padrão muito comum — memorize-o como
.
Passo 14
Equação (IV):
Este é um caso da equação de Bernoulli, que tem a forma
Aqui
,
e
. O método padrão é a substituição
, que transforma a equação não linear em uma linear para
.
Passo 15
Faço a substituição
. Calculo sua derivada:
Agora reescrevo a equação original isolando
:
Multiplico ambos os lados por
(para introduzir
):
Substituindo
e
obtemos
Agora tenho uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 16
Resolvo a linear para
. A equação é
O fator integrante é
Multiplico tudo por
:
que é
Integro:
Logo
Passo 17
Volto à variável
usando
:
Portanto
Podemos renomear a constante
por
se preferir. Verifique que
não é definida quando
(isso corresponde a singularidade da solução).
Passo 18
Dica prática sobre Bernoulli: a substituição
(aqui
) é padrão. Depois de obter a linear em
, aplicar fator integrante normalmente. Em prova, escreva claramente
, calcule
e substitua — é a parte que costuma confundir quem está com pressa.