Escolha quatro equações e, em cada caso, resolva-as citando o método aplicado:
3 y+\left(e^{x}\right)+(3 x+\cos y) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

Você pediu que eu escolha quatro equações e, em cada caso, resolva-as citando o método aplicado. Vou resolver as seguintes quatro equações (cada uma é uma pequena tarefa independente). O que se pede em cada caso é encontrar a solução geral (constante de integração arbitrária). As equações escolhidas são:
\text{(I)}\quad 3y+e^{x}+(3x+\cos y)\,\frac{dy}{dx}=0
\text{(II)}\quad \frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}\,y=x^{2},\quad x>0
\text{(III)}\quad \frac{dy}{dx}=\frac{x\,y}{1+x^{2}}
\text{(IV)}\quad \frac{dy}{dx}+y=e^{x}y^{2}
Nos próximos passos eu resolvo uma por uma, explicando cuidadosamente o método aplicado e cada passo das contas para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 2

Equação (I): reescrevendo a equação numa forma diferencial de 1-forma. Começo multiplicando ambos os lados por dx para ter termos em dx e dy:
(3y+e^{x})\,dx+(3x+\cos y)\,dy=0.
Aqui eu tenho uma 1-forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=3y+e^{x},\qquad N(x,y)=3x+\cos y.
O método que vou aplicar é o de equação exata: procuro ver se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que \partial\psi/\partial x=M e \partial\psi/\partial y=N.

Passo 3

Verificação de exatidão e construção da função potencial. Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=3,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=3.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a forma é exata — ótimo sinal. Isso significa que existe \psi(x,y) tal que
\frac{\partial\psi}{\partial x}=3y+e^{x}.
Integro \partial\psi/\partial x em relação a x tratando y como constante:
\psi(x,y)=\int(3y+e^{x})\,dx=3xy+e^{x}+h(y),
onde h(y) é uma função de y somente (constante de integração "dependente de y").

Passo 4

Determino h(y) comparando \partial\psi/\partial y com N(x,y). Calculo
\frac{\partial\psi}{\partial y}=3x+h'(y).
Como isso deve ser igual a N(x,y)=3x+\cos y, segue
h'(y)=\cos y \quad\Rightarrow\quad h(y)=\sin y + C_1.
Portanto a função potencial é
\psi(x,y)=3xy+e^{x}+\sin y + C_1.
A solução implícita da equação diferencial é dada por \psi(x,y)=\text{constante}.

Passo 5

Conclusão para (I). Escrevendo a solução geral (absorvendo C_1 numa constante C):
3xy+e^{x}+\sin y=C.
Explicação prática: em prova, quando você reconhecer M\,dx+N\,dy=0 e verificar \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, pare de buscar separação ou fator integrante — é exata e você integra M em x e ajusta com uma função de y.

Passo 6

Equação (II): identificar a forma. Está escrita como
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=x^{2}.
Isto é uma equação linear de primeira ordem para y(x) no formato
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
com P(x)=-\frac{2}{x} e Q(x)=x^{2}. O método é fator integrante (integrating factor).

Passo 7

Construção do fator integrante. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int -\frac{2}{x}\,dx}=e^{-2\ln x}=x^{-2},
onde usei que x>0 (como dado no enunciado) para manipular \ln x sem problemas.

Passo 8

Multiplico a equação original por \mu(x)=x^{-2}:
x^{-2}\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}\,x^{-2}y=x^{-2}x^{2}=1.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=1.
Integro em x:
x^{-2}y=\int 1\,dx = x + C_2.
Isolo y:
y=x^{3}+C_2 x^{2}.

Passo 9

Resumo do método linear/integrating factor para (II): lembre que o truque é transformar o lado esquerdo numa derivada exata \frac{d}{dx}(\mu y) escolhendo \mu=e^{\int P}. Na prova, calcule \mu com calma e verifique a simplificação antes de integrar.

Passo 10

Equação (III): é
\frac{dy}{dx}=\frac{x\,y}{1+x^{2}}.
Aqui a equação é separável: os termos contendo y podem ser colocados num lado e os contendo x no outro. O método é separar e integrar.

Passo 11

Separo as variáveis. Divido ambos os lados por y (assumindo y\neq 0 — a solução y\equiv 0 também deve ser verificada depois) e multiplico por dx:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Agora integro ambos os lados.

Passo 12

Integração. À esquerda \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|. À direita \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx usa substituição u=1+x^{2}, du=2x\,dx, então a integral é \tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}). Assim
\ln|y|=\tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C_3.
Exponenciando,
|y|=e^{C_3}\,(1+x^{2})^{1/2}.
Absorvendo o sinal e e^{C_3} numa constante arbitrária C_4,
y=C_4\sqrt{1+x^{2}}.
Lembre também da solução trivial y\equiv 0 (corresponde a C_4=0).

Passo 13

Dica para separáveis: sempre verifique soluções constantes que podem ser perdidas quando você divide por y ou por outra expressão que pode ser zero. A integral \int x/(1+x^{2})\,dx é um padrão muito comum — memorize-o como \tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}).

Passo 14

Equação (IV):
\frac{dy}{dx}+y=e^{x}y^{2}.
Este é um caso da equação de Bernoulli, que tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}.
Aqui P(x)=1, Q(x)=e^{x} e n=2. O método padrão é a substituição z=y^{1-n}=y^{-1}, que transforma a equação não linear em uma linear para z(x).

Passo 15

Faço a substituição z=y^{-1}. Calculo sua derivada:
z=\frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Agora reescrevo a equação original isolando \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=e^{x}y^{2}-y.
Multiplico ambos os lados por -\frac{1}{y^{2}} (para introduzir z'):
-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}=-e^{x} + \frac{1}{y}.
Substituindo z e z' obtemos
\frac{dz}{dx} - z = -e^{x}.
Agora tenho uma equação linear de primeira ordem para z(x).

Passo 16

Resolvo a linear para z. A equação é
\frac{dz}{dx}-z=-e^{x}.
O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplico tudo por e^{-x}:
e^{-x}\frac{dz}{dx}-e^{-x}z = -1,
que é
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}z\big)=-1.
Integro:
e^{-x}z=-x+C_5.
Logo
z=( -x + C_5)\,e^{x}=e^{x}(C_5-x).

Passo 17

Volto à variável y usando z=1/y:
\frac{1}{y}=e^{x}(C_5-x).
Portanto
y=\frac{1}{e^{x}(C_5-x)}=\frac{e^{-x}}{C_5-x}.
Podemos renomear a constante C_5 por C_6 se preferir. Verifique que y não é definida quando C_5-x=0 (isso corresponde a singularidade da solução).

Passo 18

Dica prática sobre Bernoulli: a substituição z=y^{1-n} (aqui n=2\Rightarrow z=y^{-1}) é padrão. Depois de obter a linear em z, aplicar fator integrante normalmente. Em prova, escreva claramente z=y^{1-n}, calcule z' e substitua — é a parte que costuma confundir quem está com pressa.

Resposta

3xy+e^{x}+\sin y=C_1
y=x^{3}+C_2 x^{2}
y=C_3\sqrt{1+x^{2}}
y=\dfrac{e^{-x}}{C_4-x}

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