Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas equações podem ser mais de um tipo. Não as resolva.
2 x y y y{\prime}+y_{13}{2}=2 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial dada. Vou primeiro transcrever a equação e listar o que ela fornece.
A equação (interpretada como a forma mais plausível do texto dado) é
2 x y y' + y^{2} = 2 x^{2},
onde y'= \dfrac{dy}{dx}.
O que o enunciado pede:
  • Classificar a equação como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli (pode ser mais de um tipo).
  • Não devo resolver a equação, apenas classificá‑la.
Informações relevantes:
  • É uma equação de primeira ordem (aparece somente y', não derivadas de ordem superior).
  • Todos os termos são funções de x e y (não há derivadas de ordem maior).
  • Posso manipulá‑la algébrica e transformar em diferentes formas usuais para testar cada classificação.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão \dfrac{dy}{dx} = \cdots para facilitar testes:
2 x y \dfrac{dy}{dx} + y^{2} = 2 x^{2}.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2 x^{2} - y^{2}}{2 x y}.
Posso também reescrever como soma de termos:
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{2x}.
Essas formas serão úteis para testar separabilidade, linearidade, homogeneidade, Bernoulli e exatidão.

Passo 3

Definição/ideia prática: uma equação é separável se puder ser escrita como
\dfrac{dy}{dx}=F(x)\,G(y),
ou equivalente, de modo que todos os y fiquem multiplicando dy e todos os x multiplicando dx.
Aqui temos
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{2x}.
Esse lado direito é soma de dois termos, um igual a \dfrac{x}{y} e outro igual a -\dfrac{y}{2x}. Não é um único produto F(x)G(y); é somatório de termos que misturam x e y. Não existe fator comum que torne a expressão do tipo F(x)G(y) para toda a equação. Portanto, na sua forma original a equação não é separável.
Observação útil (didática): às vezes uma equação não é separável diretamente mas pode ficar separável após uma substituição (por exemplo y=ux); isso não a torna “separável” na forma original — classificamos como não separável, mas observaremos outras formas (homogeneidade) que permitem redução.

Passo 4

Transformo a equação em forma diferencial exata M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Parto de
2 x y \dfrac{dy}{dx} + y^{2} = 2 x^{2}.
Multiplico por dx:
y^{2}\,dx - 2x^{2}\,dx + 2x y\,dy = 0.
Ou seja,
\underbrace{\bigl(y^{2}-2x^{2}\bigr)}_{M(x,y)}\,dx + \underbrace{2xy}_{N(x,y)}\,dy = 0.
Critério de exatidão (lembrete didático): a equação é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}-2x^{2}\bigr)=2y,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x} = 2y, a equação é exata.
Explicação curta do que isso significa: existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N; mas não vamos encontrar \Phi, só classificar.

Passo 5

Forma linear padrão (equação de primeira ordem):
\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Uma equação é linear em y se puder ser escrita assim (ou equivalente), ou seja, o lado direito deve ser função apenas de x quando isolarmos \dfrac{dy}{dx} junto com um termo linear em y.
Reescrevendo nossa equação:
\dfrac{dy}{dx} + \frac{1}{2x}\,y = x\,y^{-1}.
No lado direito aparece y^{-1}, isto é, dependência explícita de y. Portanto não é da forma \dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) com Q dependente só de x. Logo, a equação NÃO é linear.

Passo 6

Recordando: a equação de Bernoulli tem a forma
\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
com n\neq0,1. Se a equação pode ser posta nessa forma então é do tipo Bernoulli.
Comparo com a forma que já escrevi:
\dfrac{dy}{dx} + \frac{1}{2x}\,y = x\,y^{-1}.
Aqui P(x)=\dfrac{1}{2x}, Q(x)=x e n=-1. Como n=-1 é diferente de 0 e 1, a equação é de Bernoulli.
Comentário didático: equações de Bernoulli são não-lineares mas têm uma transformação padrão v=y^{1-n} que as torna lineares; no caso n=-1 a transformação seria v=y^{1-(-1)}=y^{2}, mas não vou executar a transformação porque o enunciado pede só classificação.

Passo 7

Definição prática: uma equação na forma \dfrac{dy}{dx} = f(x,y) é homogênea (de grau zero) se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t, o que implica que f(x,y) pode ser escrita como função de u=\dfrac{y}{x} (ou de \dfrac{x}{y}).
Nosso f(x,y) é
f(x,y)=\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{2x}.
Se eu definir u=\dfrac{y}{x} (ou u=\dfrac{y}{x}\Rightarrow \dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{u}), então
f(x,y)=\frac{1}{u} - \frac{1}{2}u,
isto é, f depende apenas de u=\dfrac{y}{x}. Portanto f é função de y/x somente e a equação é homogênea (grau zero).
Consequência prática (didática): por ser homogênea, pode-se usar a substituição y=ux para reduzir a equação a uma de variáveis separáveis em u e x. Isso não implica que a equação original seja diretamente separável em x e y — mas significa que há um método sistemático de redução.

Passo 8

  • Não separável (na forma original).
  • Exata (sim).
  • Não é linear.
  • É uma equação de Bernoulli (com n=-1).
  • É homogênea (função de y/x).

Resposta

Exata.
Bernoulli (com n=-1).
Homogênea.
Não separável (na forma original).
Não linear.

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