Ache a derivada \frac{d y}{d x} da função dada:
y(x)=\ln \left(1-x^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função
y(x)=\ln\bigl(1-x^{2}\bigr).
Informações dadas e importantes: a função é o logaritmo natural da expressão \,1-x^{2}\,. Não há outros dados numéricos. A resposta deve ser a expressão da derivada em função de x.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): se temos uma função composta \ln(u(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia aplicada ao logaritmo. A fórmula é
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando cada parte: u(x) é a função interna (aquela que está dentro do \ln); u'(x) é a derivada de u em relação a x. A ideia intuitiva: o logaritmo cresce como a razão entre a variação da parte interna e o próprio valor da parte interna.

Passo 3

Identificar a função interna u(x) no nosso caso. Aqui a parte dentro do logaritmo é
u(x)=1-x^{2}.
Isso significa que vamos calcular u'(x) e depois dividir por u(x), conforme a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Calcular u'(x). Usamos a regra da potência para derivar x^{2}: a regra diz que
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aplicando a essa parte: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x. Como em u(x) temos -x^{2}, a derivada dessa parte é -2x. A derivada de 1 (constante) é 0. Portanto
u'(x)=0-2x=-2x.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do passo 2 substituindo u(x) e u'(x):
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-2x}{1-x^{2}}.
Esse é o resultado direto da regra da cadeia. Lembre-se que essa expressão só faz sentido onde y(x) está definida, ou seja, onde 1-x^{2}>0 (porque o logaritmo natural exige argumento positivo). Assim a função original e sua derivada são válidas para |x|<1.

Passo 6

Opcional: simplificar o sinal trocando sinal de numerador e denominador. Multiplicando numerador e denominador por -1 obtemos a forma equivalente
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{x^{2}-1}.
Ambas as formas representam a mesma derivada; escolha a que você achar mais confortável na prova.

Passo 7

Pequena verificação numérica (ajuda a ganhar confiança): para x=\tfrac{1}{2},
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=1/2}=\frac{-2\cdot\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{-1}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{-1}{\tfrac{3}{4}}=-\tfrac{4}{3}.
Se você fizer um quociente incremental numérico próximo de x=\tfrac{1}{2} deve obter um valor próximo de -\tfrac{4}{3}, confirmando que a expressão está consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{1-x^{2}}

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