Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica ou função trigonométrica.
y=\frac{\sqrt[3]{x}-1}{1+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a função
y = \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{1 + \sqrt{x}}
entre as seguintes categorias: função potência, função raiz, função polinomial (com seu grau), função racional, função algébrica ou função trigonométrica. Para isso vamos usar as definições:
  • função potência: x\mapsto x^r com r constante;
  • função raiz: extração de radical simples, como x\mapsto\sqrt[n]{x};
  • função polinomial: soma finita de potências com expoentes inteiros não negativos;
  • função racional: quociente de dois polinômios em x;
  • função algébrica: obtida por operações algébricas finitas (adição, subtração, multiplicação, divisão) e extrações de raízes;
  • função trigonométrica: envolve seno, cosseno etc.

Passo 2

Reescrevendo os radicais em forma de potências racionais, temos
\sqrt[3]{x} = x^{\tfrac13} \quad\text{e}\quad \sqrt{x} = x^{\tfrac12},
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y = \frac{x^{\tfrac13} - 1}{1 + x^{\tfrac12}}.

Passo 3

Verificamos se é polinomial. Uma função polinomial em x deve ter apenas expoentes inteiros não negativos. Aqui aparecem os expoentes \tfrac13 e \tfrac12, que não são inteiros. Portanto não é função polinomial.
Verificamos se é racional (no sentido de quociente de polinômios). Para isso, tanto numerador quanto denominador teriam de ser polinômios com expoentes inteiros. Como eles contêm expoentes fracionários, não é função racional.
Não há nenhum seno, cosseno ou função trigonométrica. Logo, não é função trigonométrica. Também não se trata de uma pura função potência x\mapsto x^r nem de uma única raiz isolada.

Passo 4

Porém a expressão é obtida por soma, subtração, divisão e extrações de raízes. Isso se encaixa exatamente na definição de função algébrica (mais especificamente uma função algébrica fracionária).

Resposta

A função
y = \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{1 + \sqrt{x}}
é uma função algébrica.

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