Encontre as funções
  • f \circ g
  • g \circ f
  • f \circ f
  • g \circ g e seus domínios.
    f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}, \quad g(x)=\sin 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as composições das funções
f(x)=\frac{x}{1+x^{2}},\quad g(x)=\sin(2x)
isto é, f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g, e determinar o domínio de cada uma. Vamos usar a definição de composição (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) e analisar onde cada expressão está bem definida.

Passo 2

Cálculo de f\circ g.
Pela definição,
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \frac{g(x)}{1+\bigl(g(x)\bigr)^{2}} = \frac{\sin(2x)}{1+\sin^{2}(2x)}.
O domínio de f\circ g é o conjunto de x tais que g(x) esteja no domínio de f. Como g(x)=\sin(2x) está definido para todo x\in\mathbb{R} e o denominador
1+\sin^{2}(2x)\ge1>0
nunca se anula, concluímos que
\text{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Cálculo de g\circ f.
Usando a definição,
(g\circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr) = \sin\bigl(2\,f(x)\bigr) = \sin\!\Bigl(\frac{2x}{1+x^{2}}\Bigr).
O domínio de g\circ f é o conjunto de x tais que f(x) esteja no domínio de g. Como f(x)=x/(1+x^{2}) está definido para todo x\in\mathbb{R} e \sin aceita qualquer real, temos
\text{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 4

Cálculo de f\circ f.
De novo pela definição,
(f\circ f)(x) = f\bigl(f(x)\bigr) = \frac{\displaystyle \frac{x}{1+x^{2}}} {1+\displaystyle\Bigl(\frac{x}{1+x^{2}}\Bigr)^{2}}.
No denominador:
1+\Bigl(\frac{x}{1+x^{2}}\Bigr)^{2} = \frac{(1+x^{2})^{2}+x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{1+3x^{2}+x^{4}}{(1+x^{2})^{2}}.
Logo,
(f\circ f)(x) = \frac{x/(1+x^{2})}{\bigl(1+3x^{2}+x^{4}\bigr)/(1+x^{2})^{2}} = \frac{x\,(1+x^{2})}{1+3x^{2}+x^{4}}.
Para o domínio, f original só falha se 1+x^{2}=0, o que nunca ocorre em \mathbb{R}. Além disso, 1+3x^{2}+x^{4}>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto
\text{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Cálculo de g\circ g.
Temos
(g\circ g)(x) = g\bigl(g(x)\bigr) = \sin\bigl(2\,\sin(2x)\bigr).
Como \sin(2x) e \sin estão definidos para todos os reais, segue que
\text{Dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.

Resposta

f\circ g:\
(f\circ g)(x)=\frac{\sin(2x)}{1+\sin^{2}(2x)},\quad \text{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}. g\circ f:\
(g\circ f)(x)=\sin\!\Bigl(\frac{2x}{1+x^{2}}\Bigr),\quad \text{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}. f\circ f:\
(f\circ f)(x)=\frac{x\,(1+x^{2})}{1+3x^{2}+x^{4}},\quad \text{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}. g\circ g:\
(g\circ g)(x)=\sin\bigl(2\,\sin(2x)\bigr),\quad \text{Dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.

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