Encontre as funções
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e seus domínios.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as composições das funções
isto é,
,
,
e
, e determinar o domínio de cada uma. Vamos usar a definição de composição
e analisar onde cada expressão está bem definida.
Passo 2
Cálculo de
.
Pela definição,
Pela definição,
O domínio de
é o conjunto de
tais que
esteja no domínio de
. Como
está definido para todo
e o denominador
nunca se anula, concluímos que
Passo 3
Cálculo de
.
Usando a definição,
Usando a definição,
O domínio de
é o conjunto de
tais que
esteja no domínio de
. Como
está definido para todo
e
aceita qualquer real, temos
Passo 4
Cálculo de
.
De novo pela definição,
De novo pela definição,
No denominador:
Logo,
Para o domínio,
original só falha se
, o que nunca ocorre em
. Além disso,
para todo
. Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
Temos
Temos
Como
e
estão definidos para todos os reais, segue que