I-2 Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a classifique entre as opções: função potência, função raiz, função polinomial (e grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
Informações úteis extraídas do enunciado:
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A classificação pedida deve ser uma (ou mais) das categorias listadas.
Passo 2
Definições importantes (explicadas de forma bem direta):
- Uma função polinomial é uma expressão da forma
, com coeficientes constantes e um inteiro não negativo. O grau do polinômio é o maior com . - Uma função racional é uma razão entre dois polinômios, isto é, tem a forma
onde e são polinômios e não é o polinômio zero. A função está definida somente onde . - Uma função algébrica é qualquer função que pode ser obtida a partir de polinômios usando operações algébricas finitas (adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes). Toda função racional é, em particular, algébrica.
- Uma função potência é da forma
com e constantes (por exemplo é uma potência com expoente ).
Essas definições servem para decidir em qual categoria
se encaixa.
Passo 3
Identificar numerador e denominador como polinômios e seus graus:
- Numerador
. É um polinômio de grau . - Denominador
. É um polinômio de grau .
Comoé exatamente a razão de dois polinômios com não identicamente zero, pela definição é uma função racional.
Passo 4
Fatoração e simplificação (útil para entender outras classificações e o domínio):
Portanto
Como
para todo
, pode-se cancelar esse fator para todos os
reais em que o denominador original seja definido. Isso dá
Observação sobre domínio: o denominador original zera em
, logo a função original não está definida em
. Após cancelamento obtemos a forma
com domínio
, consistente com a função racional original.
Passo 5
Interpretação final e comparação com outras categorias:
- Principal classificação: é uma função racional, pois é uma razão de polinômios (numerador de grau
, denominador de grau ). - Relações com outras categorias:
- É também uma função algébrica (toda racional é algébrica).
- Após simplificação em seu domínio (
) é igual à função potência ; portanto, sobre o domínio real excluindo zero, coincide com uma função potência. Entretanto, a expressão dada originalmente tem denominador não constante, então a classificação mais direta e precisa é “função racional”. - Não é uma função polinomial (o denominador não é constante), não é função raiz no sentido típico (como
), não é trigonométrica, exponencial nem logarítmica.
Resposta
Função racional (numerador de grau
, denominador de grau
). Também é função algébrica; para
simplifica para a função potência
.