I-2 Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
(d) r(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{3}+x}

Passo 1

O enunciado dá a função
r(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{3}+x}
e pede que a classifique entre as opções: função potência, função raiz, função polinomial (e grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Numerador: x^{2}+1.
  • Denominador: x^{3}+x.
  • A classificação pedida deve ser uma (ou mais) das categorias listadas.

Passo 2

Definições importantes (explicadas de forma bem direta):
  • Uma função polinomial é uma expressão da forma \sum_{k=0}^{n} a_k x^k, com coeficientes a_k constantes e n um inteiro não negativo. O grau do polinômio é o maior k com a_k\neq0.
  • Uma função racional é uma razão entre dois polinômios, isto é, tem a forma \dfrac{p(x)}{q(x)} onde p e q são polinômios e q não é o polinômio zero. A função está definida somente onde q(x)\neq0.
  • Uma função algébrica é qualquer função que pode ser obtida a partir de polinômios usando operações algébricas finitas (adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes). Toda função racional é, em particular, algébrica.
  • Uma função potência é da forma kx^{a} com k e a constantes (por exemplo x^{-1} é uma potência com expoente -1).
Essas definições servem para decidir em qual categoria r(x) se encaixa.

Passo 3

Identificar numerador e denominador como polinômios e seus graus:
  • Numerador p(x)=x^{2}+1. É um polinômio de grau \,2.
  • Denominador q(x)=x^{3}+x. É um polinômio de grau \,3.
    Como r(x) é exatamente a razão de dois polinômios com q não identicamente zero, pela definição r(x) é uma função racional.

Passo 4

Fatoração e simplificação (útil para entender outras classificações e o domínio):
x^{3}+x = x(x^{2}+1).
Portanto
r(x)=\frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+1)}.
Como \,x^{2}+1\neq0 para todo x\in\mathbb{R}, pode-se cancelar esse fator para todos os x reais em que o denominador original seja definido. Isso dá
r(x)=\frac{1}{x}\qquad\text{para }x\neq0.
Observação sobre domínio: o denominador original zera em x=0, logo a função original não está definida em x=0. Após cancelamento obtemos a forma x^{-1} com domínio x\neq0, consistente com a função racional original.

Passo 5

Interpretação final e comparação com outras categorias:
  • Principal classificação: é uma função racional, pois é uma razão de polinômios (numerador de grau 2, denominador de grau 3).
  • Relações com outras categorias:
    • É também uma função algébrica (toda racional é algébrica).
    • Após simplificação em seu domínio ( x\neq0) é igual à função potência x^{-1}; portanto, sobre o domínio real excluindo zero, coincide com uma função potência. Entretanto, a expressão dada originalmente tem denominador não constante, então a classificação mais direta e precisa é “função racional”.
    • Não é uma função polinomial (o denominador não é constante), não é função raiz no sentido típico (como \sqrt{x}), não é trigonométrica, exponencial nem logarítmica.

Resposta

Função racional (numerador de grau 2, denominador de grau 3). Também é função algébrica; para x\neq0 simplifica para a função potência \;x^{-1}.

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