I-2 Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a função dada e fornece:
- A função é
.
As opções possíveis para classificar são: função potência, função raiz, função polinomial (com seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica. A tarefa é dizer a qual dessas classespertence.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função tangente. A função tangente é uma função trigonométrica definida por:
onde
é a variável (geralmente um ângulo) e
e
são as funções seno e cosseno. Aqui, na função dada, o argumento é
. Ou seja,
Explicando as variáveis:
é a variável independente da função;
é a expressão algébrica que serve de entrada para a função trigonométrica
.
Passo 3
O que caracteriza uma função trigonométrica, para identificar rapidamente na prova, é que ela é construída a partir de seno, cosseno, tangente (ou suas inversas) aplicados à variável ou a expressões da variável. Exemplos simples:
,
,
são todas funções trigonométricas. Como
é
aplicado a
, já é, por definição, uma função trigonométrica.
Passo 4
Agora, por completude de raciocínio (útil na prova: justificar por que não é outra coisa), vamos eliminar as outras classes uma a uma com explicações curtas e didáticas.
Não é função potência. Uma função potência tem a forma com
constante. Aqui não existe uma expressão do tipo
equivalente a
para todo
, portanto não é função potência.
Não é função raiz. Função raiz tem forma ou
. A tangente não pode ser escrita como uma raiz algébrica da variável; ela envolve seno e cosseno (funções transcendentes), então não é função raiz.
Não é polinomial. Função polinomial tem a forma com
inteiro não negativo. A
não é um polinômio em
(tem comportamento oscilatório e singularidades); não existe um
finito que represente
como soma finita de potências de
.
Não é função racional. Função racional é razão de dois polinômios em . Apesar de
, as funções
e
não são polinômios em
, logo
não é razão de polinômios em
.
Não é função algébrica. Funções algébricas são as soluções de equações polinomiais com coeficientes polinomiais (ou, de modo prático, obtidas por operações algébricas finitas — soma, multiplicação, divisão e radiciação — sobre ). Como
envolve funções trigonométricas (transcendentes), não é obtida apenas por operações algébricas finitas; portanto é transcendente, não algébrica.
Não é função exponencial nem logarítmica. Função exponencial tem forma (por exemplo
) e função logarítmica tem forma
.
não tem essa forma nem pode ser escrita como tal.
Não é função potência. Uma função potência tem a forma
Não é função raiz. Função raiz tem forma
Não é polinomial. Função polinomial tem a forma
Não é função racional. Função racional é razão de dois polinômios em
Não é função algébrica. Funções algébricas são as soluções de equações polinomiais com coeficientes polinomiais (ou, de modo prático, obtidas por operações algébricas finitas — soma, multiplicação, divisão e radiciação — sobre
Não é função exponencial nem logarítmica. Função exponencial tem forma
Passo 5
Reforço prático para a prova: qualquer expressão do tipo
,
,
,
, etc., é classificada como função trigonométrica, mesmo que o “algo” seja uma expressão algébrica como
,
ou
. Portanto, reconhecer o nome da função externa (aqui
) já resolve a classificação na maioria dos casos.
Passo 6
Observações extras úteis (opcionais na prova): domínio e período. O domínio de
é
isto é,
para
. O período de
é
porque
tem período
no argumento, e ao multiplicar o argumento por
o período em
fica
. Estas propriedades confirmam o caráter trigonométrico da função.
Resposta
Função trigonométrica (especificamente,
).