I-2 Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
(e) s(x)=\operatorname{tg} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a função dada e fornece:
  • A função é s(x)=\operatorname{tg}2x.
    As opções possíveis para classificar são: função potência, função raiz, função polinomial (com seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica. A tarefa é dizer a qual dessas classes s(x) pertence.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função tangente. A função tangente é uma função trigonométrica definida por:
\tan u = \frac{\sin u}{\cos u},
onde u é a variável (geralmente um ângulo) e \sin e \cos são as funções seno e cosseno. Aqui, na função dada, o argumento é u=2x. Ou seja,
s(x)=\tan(2x).
Explicando as variáveis: x é a variável independente da função; 2x é a expressão algébrica que serve de entrada para a função trigonométrica \tan.

Passo 3

O que caracteriza uma função trigonométrica, para identificar rapidamente na prova, é que ela é construída a partir de seno, cosseno, tangente (ou suas inversas) aplicados à variável ou a expressões da variável. Exemplos simples: \sin x, \cos(3x), \tan(5x+1) são todas funções trigonométricas. Como s(x) é \tan aplicado a 2x, já é, por definição, uma função trigonométrica.

Passo 4

Agora, por completude de raciocínio (útil na prova: justificar por que não é outra coisa), vamos eliminar as outras classes uma a uma com explicações curtas e didáticas.
Não é função potência. Uma função potência tem a forma \,x^a com a constante. Aqui não existe uma expressão do tipo x^a equivalente a \tan(2x) para todo x, portanto não é função potência.
Não é função raiz. Função raiz tem forma \sqrt[n]{\text{expressão em }x}ã ou \text{expressão}^{1/n}ã. A tangente não pode ser escrita como uma raiz algébrica da variável; ela envolve seno e cosseno (funções transcendentes), então não é função raiz.
Não é polinomial. Função polinomial tem a forma \sum_{k=0}^n a_k x^k com n inteiro não negativo. A \tan(2x) não é um polinômio em x (tem comportamento oscilatório e singularidades); não existe um n finito que represente \tan(2x) como soma finita de potências de x.
Não é função racional. Função racional é razão de dois polinômios em x. Apesar de \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}, as funções \sin(2x) e \cos(2x) não são polinômios em x, logo \tan(2x) não é razão de polinômios em x.
Não é função algébrica. Funções algébricas são as soluções de equações polinomiais com coeficientes polinomiais (ou, de modo prático, obtidas por operações algébricas finitas — soma, multiplicação, divisão e radiciação — sobre x). Como \tan(2x) envolve funções trigonométricas (transcendentes), não é obtida apenas por operações algébricas finitas; portanto é transcendente, não algébrica.
Não é função exponencial nem logarítmica. Função exponencial tem forma a^{x} (por exemplo e^{x}) e função logarítmica tem forma \log_a x. \tan(2x) não tem essa forma nem pode ser escrita como tal.

Passo 5

Reforço prático para a prova: qualquer expressão do tipo \sin(\text{algo}), \cos(\text{algo}), \tan(\text{algo}), \operatorname{sec}(\text{algo}), etc., é classificada como função trigonométrica, mesmo que o “algo” seja uma expressão algébrica como 2x, 3x+1 ou x^2. Portanto, reconhecer o nome da função externa (aqui \tan) já resolve a classificação na maioria dos casos.

Passo 6

Observações extras úteis (opcionais na prova): domínio e período. O domínio de s é
\{x\in\mathbb{R}\mid \cos(2x)\neq 0\},
isto é, x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2} para k\in\mathbb{Z}. O período de \tan(2x) é \dfrac{\pi}{2} porque \tan tem período \pi no argumento, e ao multiplicar o argumento por 2 o período em x fica \dfrac{\pi}{2}. Estas propriedades confirmam o caráter trigonométrico da função.

Resposta

Função trigonométrica (especificamente, s(x)=\tan(2x)).

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