Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede: expressar a área de um triângulo equilátero como função do comprimento de um lado.
- Informação importante que temos (do enunciado e da definição): em um triângulo equilátero todos os três lados têm o mesmo comprimento. Vou chamar o comprimento do lado de
. - O objetivo é então encontrar uma fórmula
que dê a área em termos de .
Passo 2
Definir variáveis e construir uma estratégia simples:
- Seja
o comprimento de cada lado do triângulo equilátero. - Para calcular a área de qualquer triângulo usamos a fórmula básica
- Aqui podemos tomar a base como
e precisar achar a altura (a partir de um vértice até o lado oposto). Vou chamar essa altura de - Então, até agora temos
A próxima etapa é calcular
em função de
.
Passo 3
Como encontrar a altura
num triângulo equilátero — ideia geométrica:
- Ao desenhar a altura a partir de um vértice até o lado oposto, essa altura também é mediana e bissetriz no triângulo equilátero. Logo, ela divide a base em duas partes iguais de comprimento
. - Isso produz um triângulo retângulo onde a hipotenusa vale
, um cateto vale (metade da base) e o outro cateto é . - Agora aplicamos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo: a soma dos quadrados dos catetos é o quadrado da hipotenusa. Escrevendo isso,
- Desenvolvendo a conta passo a passo:
- Tirando raiz quadrada (tomando a raiz positiva, pois
é comprimento):
Passo 4
Voltar à fórmula da área e ligar tudo:
- Já temos
(do Passo 2) e (do Passo 3). - Substituindo
nessa expressão obtém-se a expressão final para a área em função de . O resultado simplificado dessa substituição está na seção de resposta abaixo.
Passo 5
Pequeno exemplo numérico para fixar a ideia (ilustrativo):
- Se
(unidades quaisquer), então do Passo 3 e do Passo 2 (unidades de área). - Isso confirma que a metodologia (achar a altura com Pitágoras e usar
) funciona na prática.