Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: expressar a área de um triângulo equilátero como função do comprimento de um lado.
  • Informação importante que temos (do enunciado e da definição): em um triângulo equilátero todos os três lados têm o mesmo comprimento. Vou chamar o comprimento do lado de \;a\;.
  • O objetivo é então encontrar uma fórmula A(a) que dê a área em termos de \;a\;.

Passo 2

Definir variáveis e construir uma estratégia simples:
  • Seja \;a\; o comprimento de cada lado do triângulo equilátero.
  • Para calcular a área de qualquer triângulo usamos a fórmula básica
A=\tfrac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura}).
  • Aqui podemos tomar a base como \;a\; e precisar achar a altura (a partir de um vértice até o lado oposto). Vou chamar essa altura de \;h\;.
  • Então, até agora temos
A=\tfrac{1}{2}\,a\,h.
A próxima etapa é calcular \;h\; em função de \;a\;.

Passo 3

Como encontrar a altura \;h\; num triângulo equilátero — ideia geométrica:
  • Ao desenhar a altura a partir de um vértice até o lado oposto, essa altura também é mediana e bissetriz no triângulo equilátero. Logo, ela divide a base em duas partes iguais de comprimento \;a/2\;.
  • Isso produz um triângulo retângulo onde a hipotenusa vale \;a\;, um cateto vale \;a/2\; (metade da base) e o outro cateto é \;h\;.
  • Agora aplicamos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo: a soma dos quadrados dos catetos é o quadrado da hipotenusa. Escrevendo isso,
h^{2}+\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}=a^{2}.
  • Desenvolvendo a conta passo a passo:
h^{2}=a^{2}-\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2} = a^{2}-\tfrac{a^{2}}{4} = \tfrac{4a^{2}-a^{2}}{4} = \tfrac{3a^{2}}{4}.
  • Tirando raiz quadrada (tomando a raiz positiva, pois h é comprimento):
h=\sqrt{\tfrac{3a^{2}}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,a.

Passo 4

Voltar à fórmula da área e ligar tudo:
  • Já temos \;A=\tfrac{1}{2}\,a\,h\; (do Passo 2) e \;h=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,a\; (do Passo 3).
  • Substituindo \;h\; nessa expressão obtém-se a expressão final para a área em função de \;a\;. O resultado simplificado dessa substituição está na seção de resposta abaixo.

Passo 5

Pequeno exemplo numérico para fixar a ideia (ilustrativo):
  • Se \;a=2\; (unidades quaisquer), então do Passo 3 \;h=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}\; e do Passo 2 A=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3} (unidades de área).
  • Isso confirma que a metodologia (achar a altura com Pitágoras e usar A=\tfrac12\cdot\text{base}\cdot\text{altura}) funciona na prática.

Resposta

\displaystyle A(a)=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}

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