Considere a função
Se denotarmos por
a série de Fourier
-periódica que converge para
num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
A
B
C Nenhuma das outras opções é correta.
E
A
B
C Nenhuma das outras opções é correta.
E
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função polinomial $ f(x) = 1 - \frac{x}{\pi} + \frac{x2}{\pi2} - \frac{x3}{\pi3} + \frac{x4}{\pi4} - \frac{x5}{\pi5} $ e queremos descobrir qual é o valor da série de Fourier $ S_f $ dessa função no ponto $ x = -\pi $. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier e propriedades das funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier $ S_f(x) $ é uma representação de uma função periódica $ f(x) $ em termos de senos e cossenos. No caso, a série é $ 2\pi $-periódica, o que significa que ela se repete a cada intervalo de $ 2\pi $.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que acontece com $ S_f(x) $ quando $ x = -\pi $. Como a série é $ 2\pi $-periódica, isso significa que $ S_f(-\pi) $ é igual a $ S_f(\pi) $, porque os pontos $ -\pi $ e $ \pi $ estão separados por um período completo.
Passo 4
Vamos calcular $ f(\pi) $ para ver o que a função $ f(x) $ vale nesse ponto:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Como a função $ f(x) $ é um polinômio e, portanto, suave (sem quebras ou pontas), a série de Fourier $ S_f(x) $ converge exatamente para $ f(x) $ em todos os pontos, inclusive em $ x = \pi $ e $ x = -\pi $.
Passo 6
Portanto, sabemos que $ S_f(\pi) = f(\pi) = 0 $. Mas lembre-se que $ S_f(-\pi) = S_f(\pi) $ devido à periodicidade da série. Então, inicialmente, poderíamos pensar que $ S_f(-\pi) = 0 $.
No entanto, vamos considerar que a série de Fourier pode introduzir descontinuidades nos pontos onde a função original completa um ciclo periódico. Nesse caso, a média dos limites laterais pode ser considerada. Mas, como $ f(x) $ é contínua e igual a zero em $ x = \pi $ e $ x = -\pi $, não há discrepância.
Passo 7
Além disso, se calcularmos $ f(-\pi) $:
Simplificando:
Passo 8
Como a série de Fourier converge para $ f(x) $ em pontos contínuos e $ f(-\pi) = 6 $, concluímos que $ S_f(-\pi) = 6 $.
Resposta
A