Considere a função
l f: R R, x mapsto f(x), onde f(x)=1-xpi+x^2pi^2-x^3pi^3+x^4pi^4-x^5pi^5
Se denotarmos por
Sf: R R, x mapsto Sf(x)
a série de Fourier 2 pi-periódica que converge para f(x) num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
A Sf(-pi)=6
B Sf(-pi)=1
C Nenhuma das outras opções é correta.
square Sf(-pi)=3
E Sf(-pi)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função polinomial $ f(x) = 1 - \frac{x}{\pi} + \frac{x2}{\pi2} - \frac{x3}{\pi3} + \frac{x4}{\pi4} - \frac{x5}{\pi5} $ e queremos descobrir qual é o valor da série de Fourier $ S_f $ dessa função no ponto $ x = -\pi $. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier e propriedades das funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier $ S_f(x) $ é uma representação de uma função periódica $ f(x) $ em termos de senos e cossenos. No caso, a série é $ 2\pi $-periódica, o que significa que ela se repete a cada intervalo de $ 2\pi $.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que acontece com $ S_f(x) $ quando $ x = -\pi $. Como a série é $ 2\pi $-periódica, isso significa que $ S_f(-\pi) $ é igual a $ S_f(\pi) $, porque os pontos $ -\pi $ e $ \pi $ estão separados por um período completo.

Passo 4

Vamos calcular $ f(\pi) $ para ver o que a função $ f(x) $ vale nesse ponto:
f(pi)
Simplificando cada termo:
f(x)

Passo 5

Como a função $ f(x) $ é um polinômio e, portanto, suave (sem quebras ou pontas), a série de Fourier $ S_f(x) $ converge exatamente para $ f(x) $ em todos os pontos, inclusive em $ x = \pi $ e $ x = -\pi $.

Passo 6

Portanto, sabemos que $ S_f(\pi) = f(\pi) = 0 $. Mas lembre-se que $ S_f(-\pi) = S_f(\pi) $ devido à periodicidade da série. Então, inicialmente, poderíamos pensar que $ S_f(-\pi) = 0 $.
No entanto, vamos considerar que a série de Fourier pode introduzir descontinuidades nos pontos onde a função original completa um ciclo periódico. Nesse caso, a média dos limites laterais pode ser considerada. Mas, como $ f(x) $ é contínua e igual a zero em $ x = \pi $ e $ x = -\pi $, não há discrepância.

Passo 7

Além disso, se calcularmos $ f(-\pi) $:
f(-pi)
Simplificando:
f(-pi) = 1 - -pipi + (-pi)^2pi^2 - (-pi)^3pi^3 + (-pi)^4pi^4 - (-pi)^5pi^5

Passo 8

Como a série de Fourier converge para $ f(x) $ em pontos contínuos e $ f(-\pi) = 6 $, concluímos que $ S_f(-\pi) = 6 $.

Resposta

A Sf(-pi)=6

Exercícios relacionados