Classifique cada operador abaixo como hermitiano ou não hermitiano. A=\left(\begin{array}{ll}1 & i \\\ i & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique o operador dado como hermitiano ou não hermitiano.
A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}1 & i \\[4pt] i & 1\end{pmatrix}.
As informações relevantes que temos são os elementos da matriz: \,A_{11}=1,\;A_{12}=i,\;A_{21}=i,\;A_{22}=1.]
Passo 2
Definição e procedimento que vou usar (explicado passo a passo, sem pressa): um operador (ou matriz) A é hermitiano se ele é igual ao seu adjunto hermitiano, que se denota por A^\dagger. Em símbolos,
A \text{ é hermitiano} \iff A^\dagger = A.
O adjunto hermitiano A^\dagger é a conjugada complexa de A seguida de transposição. Em termos de componentes:
(A^\dagger)_{ij} = \overline{A_{ji}},
onde o sobrelinha indica conjugado complexo (por exemplo \overline{i}=-i). Uma condição prática e rápida para checar hermiticidade em matrizes é:
todos os elementos diagonais devem ser reais (pois \overline{A_{ii}}=A_{ii} exige isso);
e para i\neq j vale A_{ij} = \overline{A_{ji}}.
Passo 3
Vou calcular o conjugado complexo de A. Conjugando cada entrada trocamos i por -i:
pois essa matriz é simétrica, então a transposição não altera a posição dos elementos além do que já fizemos ao conjugar.]
Passo 4
Comparo A^\dagger com A. Temos
A=\begin{pmatrix}1 & i \\[4pt] i & 1\end{pmatrix}, \qquad A^\dagger=\begin{pmatrix}1 & -i \\[4pt] -i & 1\end{pmatrix}.
Os elementos diagonais coincidem (1=1), mas os elementos fora da diagonal não coincidem: \,A_{12}=i enquanto (A^\dagger)_{12}=-i. Ou seja, A\neq A^\dagger. Portanto a condição para ser hermitiano não é satisfeita.]
Passo 5
Comentário didático final e dica de prova: uma maneira rápida de checar é olhar se os elementos simétricos em relação à diagonal principal são conjugados complexos um do outro. Aqui A_{12}=i e A_{21}=i; para ser hermitiano precisaríamos de A_{21}=\overline{A_{12}}=-i. Como isso não acontece, concluímos diretamente que não é hermitiano. Um exemplo de matriz parecida que seria hermitiana é
\begin{pmatrix}1 & i \\[4pt] -i & 1\end{pmatrix},
porque aí o elemento abaixo da diagonal é o conjugado de cima.]