Encontre os autovalores e autovetores das matrizes reais abaixo.
C=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz real
C=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações dadas: a matriz C é 2\times2 com entradas c_{11}=0, c_{12}=1, c_{21}=1, c_{22}=0. As perguntas são: quais são os autovalores \lambda e, para cada autovalor, quais são os autovetores v\neq 0 tais que Cv=\lambda v.]

Passo 2

O que significa achar autovalores e autovetores (mini-aulinha): um autovalor \lambda e um autovetor v satisfazem a equação
Cv=\lambda v.
Isto pode ser reescrito como
(C-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade. Para existir um vetor v\neq 0 solução, a matriz C-\lambda I deve ser singular, isto é, seu determinante deve ser zero:
\det(C-\lambda I)=0.
Essa equação em \lambda chama-se polinômio característico; suas raízes são os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda resolvemos o sistema linear (C-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores (o conjunto de todas as soluções formará um subespaço próprio, normalmente escrito como \operatorname{ker}(C-\lambda I) ou \operatorname{span}\{\dots\}).

Passo 3

Vamos construir o polinômio característico de C. Calculamos C-\lambda I:
C-\lambda I=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\[4pt] 0 & \lambda\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}.
Agora o determinante:
\det(C-\lambda I)=(-\lambda)(-\lambda)-1\cdot 1=\lambda^{2}-1.]

Passo 4

Os autovalores são as raízes do polinômio característico \lambda^{2}-1=0. Resolvendo:
\lambda^{2}-1=0 \iff \lambda^{2}=1 \iff \lambda=\pm 1.
Portanto os autovalores são \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=-1.

Passo 5

Agora encontramos os autovetores associados a \lambda_{1}=1\). Substituímos em \((C-\lambda I)v=0\): \[C-I=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Escrevemos o sistema para v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}:
\begin{cases} - x + y = 0,\\[4pt] x - y = 0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes e dão y=x\]. Logo os autovetores correspondentes são todos os vetores da forma \[v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix},\] com \(x\neq 0. Em notação de subespaço, o autoespaço de \lambda=1 é \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 6

Agora os autovetores para \lambda_{2}=-1\). Calculamos \(C-(-1)I=C+I\): \[C+I=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
O sistema (C+I)v=0 com v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} é
\begin{cases} x + y = 0,\\[4pt] x + y = 0. \end{cases}
As equações são equivalentes e dão y=-x\]. Assim os autovetores são todos os vetores da forma \[v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] -x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix},\] com \(x\neq 0. Em notação de subespaço, o autoespaço de \lambda=-1 é \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 7

Observações úteis para a prova (breve explicação conceitual): C é uma matriz simétrica real ( C^{T}=C), então sempre tem autovalores reais e autovetores ortogonais. Aqui os vetores \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} são ortogonais porque o produto interno é
\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=1\cdot 1 + 1\cdot(-1)=0.
Se quiser vetores unitários (normalizados), divida por a norma \sqrt{2}:
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Mas para a maioria das provas basta dar os autovetores até multiplicação por escalares (i.e., as direções).]

Resposta

\lambda_{1}=1 com autovetores \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
\lambda_{2}=-1 com autovetores \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}]

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