Informações dadas: a matriz C é 2\times2 com entradas c_{11}=0, c_{12}=1, c_{21}=1, c_{22}=0. As perguntas são: quais são os autovalores \lambda e, para cada autovalor, quais são os autovetores v\neq 0 tais que Cv=\lambda v.]
Passo 2
O que significa achar autovalores e autovetores (mini-aulinha): um autovalor \lambda e um autovetor v satisfazem a equação
Cv=\lambda v.
Isto pode ser reescrito como
(C-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade. Para existir um vetor v\neq 0 solução, a matriz C-\lambda I deve ser singular, isto é, seu determinante deve ser zero:
\det(C-\lambda I)=0.
Essa equação em \lambda chama-se polinômio característico; suas raízes são os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda resolvemos o sistema linear (C-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores (o conjunto de todas as soluções formará um subespaço próprio, normalmente escrito como \operatorname{ker}(C-\lambda I) ou \operatorname{span}\{\dots\}).
Passo 3
Vamos construir o polinômio característico de C. Calculamos C-\lambda I:
Portanto os autovalores são \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=-1.
Passo 5
Agora encontramos os autovetores associados a \lambda_{1}=1\). Substituímos em \((C-\lambda I)v=0\):
\[C-I=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Escrevemos o sistema para v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}:
\begin{cases} - x + y = 0,\\[4pt] x - y = 0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes e dão y=x\]. Logo os autovetores correspondentes são todos os vetores da forma
\[v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix},\]
com \(x\neq 0. Em notação de subespaço, o autoespaço de \lambda=1 é \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.]
Passo 6
Agora os autovetores para \lambda_{2}=-1\). Calculamos \(C-(-1)I=C+I\):
\[C+I=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
O sistema (C+I)v=0 com v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} é
\begin{cases} x + y = 0,\\[4pt] x + y = 0. \end{cases}
As equações são equivalentes e dão y=-x\]. Assim os autovetores são todos os vetores da forma
\[v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] -x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix},\]
com \(x\neq 0. Em notação de subespaço, o autoespaço de \lambda=-1 é \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}.]
Passo 7
Observações úteis para a prova (breve explicação conceitual): C é uma matriz simétrica real (C^{T}=C), então sempre tem autovalores reais e autovetores ortogonais. Aqui os vetores \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} são ortogonais porque o produto interno é