Encontre os autovalores e autovetores das matrizes reais abaixo.
D=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre os autovalores e autovetores da matriz real
D=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações dadas:
D_{11}=0,\quad D_{12}=-1,\quad D_{21}=1,\quad D_{22}=0.
O que é pedido:
\text{(a) os autovalores } \lambda \text{ que satisfazem } Dv=\lambda v,
\text{(b) os autovetores } v\neq 0 \text{ correspondentes a cada } \lambda.]

Passo 2

Definição e método usado (passo a passo bem explicadinho).
Um número \lambda é autovalor de D se existe vetor não nulo v tal que
Dv=\lambda v.
Isso é equivalente a
(D-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade e 0 é o vetor nulo. Para existir solução não trivial v, a matriz D-\lambda I deve ser singular, isto é, ter determinante zero:
\det(D-\lambda I)=0.
Para matrizes 2\times2, a fórmula do determinante vale: para
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos
\det(A)=ad-bc.
Vou aplicar isso para achar o polinômio característico \det(D-\lambda I) e então achar \lambda.

Passo 3

Construo D-\lambda I e calculo seu determinante.
D-\lambda I=\begin{pmatrix}0-\lambda & -1\\[4pt] 1 & 0-\lambda\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\lambda & -1\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}.
Agora aplico a fórmula do determinante:
\det(D-\lambda I)=(-\lambda)(-\lambda)-(-1)(1)=\lambda^{2}+1.
O polinômio característico é
\lambda^{2}+1=0.]

Passo 4

Resolvo o polinômio característico:
\lambda^{2}=-1.
Isto dá
\lambda=\pm i,
onde i é a unidade imaginária satisfazendo i^{2}=-1. Observação importante: os autovalores são complexos, logo os autovetores serão, em geral, vetores complexos. Isso é normal: matrizes reais podem ter autovalores complexos (sempre aparecem em pares complexamente conjugados quando a matriz tem entradas reais).

Passo 5

Agora encontro os autovetores correspondentes. Primeiro para \lambda=i.
Resolvemos
(D-iI)v=0.
Escrevendo com coordenadas v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}-i & -1\\[4pt] 1 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema (cada equação está em \mathbb{C}):
-i\,x - y = 0,
x - i\,y = 0.
As duas equações são dependentes (uma é múltipla da outra), então tomo a primeira e resolvo:
-i\,x - y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -i\,x.
Posso escolher x=1 (qualquer múltiplo não nulo serve), então um autovetor correspondente a \lambda=i é
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação direta do autovalor e autovetor \lambda=i e v_{1}.
Calculo Dv_{1}:
D\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot1 + (-1)(-i)\\[4pt] 1\cdot1 + 0\cdot(-i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}i\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Calculo i v_{1}:
i\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}i\\[4pt] -i^{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}i\\[4pt] 1\end{pmatrix},
pois i^{2}=-1. Portanto Dv_{1}=i v_{1}, confirmando que \lambda=i e v_{1} estão corretos.]

Passo 7

Agora para \lambda=-i.
Resolvemos
(D-(-i)I)=(D+iI),
ou seja
\begin{pmatrix}i & -1\\[4pt] 1 & i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Do sistema vem
i\,x - y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = i\,x.
Escolhendo x=1 obtemos um autovetor
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}
correspondente a \lambda=-i.]

Passo 8

Verificação direta para \lambda=-i e v_{2}.
Calculo Dv_{2}:
D\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot1 + (-1)\,i\\[4pt] 1\cdot1 + 0\cdot i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-i\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Calculo (-i)v_{2}:
(-i)\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-i\\[4pt] -i^{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-i\\[4pt] 1\end{pmatrix},
confirmando Dv_{2}=-i\,v_{2}.]

Passo 9

Observações finais e dicas de prova:
  • Os autovalores são \pm i; por serem complexos, não existem autovetores reais não nulos. Isso está relacionado ao fato de D representar (geométricamente) uma rotação de 90^\circ no plano — rotações não têm autovetores reais exceto em ângulos 0^\circ ou 180^\circ.
  • Em prova, explique rapidamente que você calcula o polinômio característico, resolve para \lambda e então resolve (D-\lambda I)v=0. Escolha uma coordenada livre (por exemplo x=1) para produzir um autovetor simples.
  • Lembre-se: autovetores são definidos até multiplicação por escalar; qualquer múltiplo não nulo de v_{1} ou v_{2} também serve.

Resposta

\lambda_{1}=i,\quad \lambda_{2}=-i
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}]

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