\text{(a) os autovalores } \lambda \text{ que satisfazem } Dv=\lambda v,
\text{(b) os autovetores } v\neq 0 \text{ correspondentes a cada } \lambda.]
Passo 2
Definição e método usado (passo a passo bem explicadinho).
Um número \lambda é autovalor de D se existe vetor não nulo v tal que
Dv=\lambda v.
Isso é equivalente a
(D-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade e 0 é o vetor nulo. Para existir solução não trivial v, a matriz D-\lambda I deve ser singular, isto é, ter determinante zero:
\det(D-\lambda I)=0.
Para matrizes 2\times2, a fórmula do determinante vale: para
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos
\det(A)=ad-bc.
Vou aplicar isso para achar o polinômio característico \det(D-\lambda I) e então achar \lambda.
onde i é a unidade imaginária satisfazendo i^{2}=-1. Observação importante: os autovalores são complexos, logo os autovetores serão, em geral, vetores complexos. Isso é normal: matrizes reais podem ter autovalores complexos (sempre aparecem em pares complexamente conjugados quando a matriz tem entradas reais).
Passo 5
Agora encontro os autovetores correspondentes. Primeiro para \lambda=i.
Resolvemos
(D-iI)v=0.
Escrevendo com coordenadas v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix},
Os autovalores são \pm i; por serem complexos, não existem autovetores reais não nulos. Isso está relacionado ao fato de D representar (geométricamente) uma rotação de 90^\circ no plano — rotações não têm autovetores reais exceto em ângulos 0^\circ ou 180^\circ.
Em prova, explique rapidamente que você calcula o polinômio característico, resolve para \lambda e então resolve (D-\lambda I)v=0. Escolha uma coordenada livre (por exemplo x=1) para produzir um autovetor simples.
Lembre-se: autovetores são definidos até multiplicação por escalar; qualquer múltiplo não nulo de v_{1} ou v_{2} também serve.