Classifique cada operador abaixo como hermitiano ou não hermitiano.
C=\left(\begin{array}{cc}i & -1 \\\\ 1 & i\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: classificar o operador (matriz) abaixo como hermitiano ou não hermitiano.
A informação que temos é a matriz
C=\begin{pmatrix}i & -1 \\[4pt] 1 & i\end{pmatrix}.]

Passo 2

Definição importante (explicada bem devagar): uma matriz A é hermitiana se ela for igual à sua adjunta (conjugada transposta). Escrevemos isso como
A^\dagger = A.
Aqui A^\dagger significa “conjugado complexo de A seguido de transposição”. Conjugar um número complexo troca a+ib por a-ib. Transpor uma matriz troca linhas por colunas. Um fato útil e rápido para lembrar na prova: os elementos da diagonal de uma matriz hermitiana têm de ser reais (porque cada elemento diagonal deve ser igual ao seu conjugado).

Passo 3

Aplicando a conjugação complexa entrada a entrada em C: conjugado de i é -i; conjugado de -1 é -1; conjugado de 1 é 1. Assim obtemos a matriz conjugada
\overline{C}=\begin{pmatrix}-i & -1 \\[4pt] 1 & -i\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora transpondo \overline{C} (trocar linhas por colunas) para obter a adjunta C^\dagger:
C^\dagger=(\overline{C})^T=\begin{pmatrix}-i & 1 \\[4pt] -1 & -i\end{pmatrix}.
Expliquei: a primeira linha de \overline{C} vira a primeira coluna de C^\dagger, e assim por diante.]

Passo 5

Comparemos C^\dagger com C. Reescrevendo ambas:
C=\begin{pmatrix}i & -1 \\[4pt] 1 & i\end{pmatrix}, \qquad C^\dagger=\begin{pmatrix}-i & 1 \\[4pt] -1 & -i\end{pmatrix}.
Elas claramente não são iguais (por exemplo, o elemento (1,1) é i em C e -i em C^\dagger). Podemos também ver a diferença
C - C^\dagger=\begin{pmatrix}i-(-i) & -1-1 \\[4pt] 1-(-1) & i-(-i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2i & -2 \\[4pt] 2 & 2i\end{pmatrix},
que não é a matriz nula, então C^\dagger\neq C.]

Passo 6

Conclusão (lógica direta): como C^\dagger\neq C, a matriz C não satisfaz a condição de hermiticidade. Também o teste rápido na Passo 2 já bastaria: os elementos diagonais de C são i, que não são reais, logo C não pode ser hermitiana.

Resposta

C não é hermitiano.

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