Classifique cada operador abaixo como hermitiano ou não hermitiano. D=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para classificar o operador dado como hermitiano ou não hermitiano.
O operador fornecido é a matriz D abaixo:
D = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
Não há outras informações no enunciado.]
Passo 2
Definição e ideia intuitiva (passo-a-passo didático).
Um operador (ou matriz) é chamado de hermitiano quando ele é igual ao seu conjugado transposto. Vamos explicar isso com calma. Primeiro definimos o que é conjugado transposto.
Conjugado de um número complexo z é \overline{z} (troca o sinal da parte imaginária).
Transposta de uma matriz é a matriz obtida trocando linhas por colunas.
Conjugado transposto de uma matriz A é a transposta de A com cada entrada conjugada; notamos isso por A^\dagger ou A^*.
A condição de hermiticidade é:
A^\dagger = A.
Isso significa que, entrada a entrada, o elemento na linha i, coluna j de A deve ser o conjugado do elemento na linha j, coluna i. Em notação:
(A^\dagger)_{ij} = \overline{A_{ji}}.
Por que isso é importante (curto)? Porque operadores hermitianos têm propriedades úteis: seus autovalores são reais e existem autovetores ortonormais que diagonalizam a matriz. Mas vamos passo a passo verificar a definição.
Passo 3
Calcular o conjugado transposto de D.
Primeiro escrevo D explicitamente (já dado):
D = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Como todas as entradas são números reais (0 e 1), o conjugado de cada entrada é ele mesmo: \overline{0}=0 e \overline{1}=1. Portanto o conjugado de D é
Portanto D satisfaz a condição D^\dagger = D, ou seja, D é hermitiano.]
Passo 5
Verificação adicional (útil para a prova): calcular os autovalores e autovetores para ver a propriedade dos autovalores serem reais.
Calculo do polinômio característico: