Classifique cada operador abaixo como hermitiano ou não hermitiano.
D=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o operador dado como hermitiano ou não hermitiano.
O operador fornecido é a matriz D abaixo:
D = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
Não há outras informações no enunciado.]

Passo 2

Definição e ideia intuitiva (passo-a-passo didático).
Um operador (ou matriz) é chamado de hermitiano quando ele é igual ao seu conjugado transposto. Vamos explicar isso com calma. Primeiro definimos o que é conjugado transposto.
  • Conjugado de um número complexo z é \overline{z} (troca o sinal da parte imaginária).
  • Transposta de uma matriz é a matriz obtida trocando linhas por colunas.
  • Conjugado transposto de uma matriz A é a transposta de A com cada entrada conjugada; notamos isso por A^\dagger ou A^*.
A condição de hermiticidade é:
A^\dagger = A.
Isso significa que, entrada a entrada, o elemento na linha i, coluna j de A deve ser o conjugado do elemento na linha j, coluna i. Em notação:
(A^\dagger)_{ij} = \overline{A_{ji}}.
Por que isso é importante (curto)? Porque operadores hermitianos têm propriedades úteis: seus autovalores são reais e existem autovetores ortonormais que diagonalizam a matriz. Mas vamos passo a passo verificar a definição.

Passo 3

Calcular o conjugado transposto de D.
Primeiro escrevo D explicitamente (já dado):
D = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Como todas as entradas são números reais ( 0 e 1), o conjugado de cada entrada é ele mesmo: \overline{0}=0 e \overline{1}=1. Portanto o conjugado de D é
\overline{D} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora tomo a transposta dessa matriz (trocar linhas por colunas):
\overline{D}^{\,T} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Isso é exatamente o conjugado transposto D^\dagger. Então
D^\dagger = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Comparar D^\dagger com D e concluir.
Vimos que
D^\dagger = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = D.
Portanto D satisfaz a condição D^\dagger = D, ou seja, D é hermitiano.]

Passo 5

Verificação adicional (útil para a prova): calcular os autovalores e autovetores para ver a propriedade dos autovalores serem reais.
Calculo do polinômio característico:
\det(D - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix} = (-\lambda)(-\lambda) - 1\cdot 1 = \lambda^2 - 1.
As raízes são
\lambda^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = \pm 1.
São autovalores reais, como deveria acontecer para uma matriz hermitiana.
Agora os autovetores (normalizados) correspondentes:
  • Para \lambda = 1, resolvemos (D - I)v = 0:
\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso implica -x + y = 0, logo y = x. Um autovetor é \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}. Normalizando (comprimento \sqrt{2}):
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
  • Para \lambda = -1, resolvemos (D + I)v = 0:
\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso implica x + y = 0, logo y = -x. Um autovetor é \begin{pmatrix}1 \\[4pt] -1\end{pmatrix}. Normalizando:
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Esses dois autovetores são ortonormais e correspondem a autovalores reais \pm 1, confirmando as propriedades esperadas de uma matriz hermitiana.]

Resposta

Hermitiano

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