Classifique cada operador abaixo como hermitiano ou não hermitiano. B=\left(\begin{array}{cc}0 & 4-i \\\\ 4+i & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede: classificar se o operador (matriz) B é hermitiano ou não hermitiano. As informações dadas são a própria matriz:
B = \begin{pmatrix}0 & 4-i \\[4pt] 4+i & 1\end{pmatrix}
Não há outras informações no enunciado.]
Passo 2
Definição e ideia prática (aula rápida): uma matriz A é hermitiana se ela for igual à sua adjunta (conjugada transposta). Em símbolos:
A^\dagger = A.
A operação “adjunta” consiste em tomar a transposta e em seguida fazer conjugação complexa dos elementos (ou primeiro conjugar e depois transpor — dá no mesmo). Em termos de entradas:
(A^\dagger)_{ij} = \overline{A_{ji}},
onde \overline{z} indica o conjugado complexo de z. Para lembrar na prova: os elementos da diagonal principal devem ser números reais (pois \overline{a_{ii}}=a_{ii} implica a_{ii}\in\mathbb{R}) e cada elemento fora da diagonal deve ser o conjugado do elemento simétrico em relação à diagonal (isto é, a_{ij}=\overline{a_{ji}}).
Passo 3
Vamos calcular a adjunta \,B^\dagger usando a fórmula (B^\dagger)_{ij}=\overline{B_{ji}}. Vou fazer elemento por elemento:
Portanto B é igual à sua adjunta, logo B é hermitiano. Dica prática para a prova: verifique rapidamente se as entradas diagonais são reais (aqui 0 e 1 são reais) e se o elemento acima da diagonal é o conjugado do elemento abaixo da diagonal (aqui \overline{4-i}=4+i e \overline{4+i}=4-i); se sim, é hermitiano.]