Classifique cada operador abaixo como hermitiano ou não hermitiano.
B=\left(\begin{array}{cc}0 & 4-i \\\\ 4+i & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: classificar se o operador (matriz) B é hermitiano ou não hermitiano. As informações dadas são a própria matriz:
B = \begin{pmatrix}0 & 4-i \\[4pt] 4+i & 1\end{pmatrix}
Não há outras informações no enunciado.]

Passo 2

Definição e ideia prática (aula rápida): uma matriz A é hermitiana se ela for igual à sua adjunta (conjugada transposta). Em símbolos:
A^\dagger = A.
A operação “adjunta” consiste em tomar a transposta e em seguida fazer conjugação complexa dos elementos (ou primeiro conjugar e depois transpor — dá no mesmo). Em termos de entradas:
(A^\dagger)_{ij} = \overline{A_{ji}},
onde \overline{z} indica o conjugado complexo de z. Para lembrar na prova: os elementos da diagonal principal devem ser números reais (pois \overline{a_{ii}}=a_{ii} implica a_{ii}\in\mathbb{R}) e cada elemento fora da diagonal deve ser o conjugado do elemento simétrico em relação à diagonal (isto é, a_{ij}=\overline{a_{ji}}).

Passo 3

Vamos calcular a adjunta \,B^\dagger usando a fórmula (B^\dagger)_{ij}=\overline{B_{ji}}. Vou fazer elemento por elemento:
  • Entrada (1,1):
(B^\dagger)_{11}=\overline{B_{11}}=\overline{0}=0.
  • Entrada (1,2):
(B^\dagger)_{12}=\overline{B_{21}}=\overline{4+i}=4-i,
porque o conjugado de 4+i é 4-i.
  • Entrada (2,1):
(B^\dagger)_{21}=\overline{B_{12}}=\overline{4-i}=4+i,
porque o conjugado de 4-i é 4+i.
  • Entrada (2,2):
(B^\dagger)_{22}=\overline{B_{22}}=\overline{1}=1.
Montando a matriz resultante:
B^\dagger = \begin{pmatrix}0 & 4-i \\[4pt] 4+i & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora comparemos B^\dagger com B. Observamos que
B^\dagger = \begin{pmatrix}0 & 4-i \\[4pt] 4+i & 1\end{pmatrix} = B.
Portanto B é igual à sua adjunta, logo B é hermitiano. Dica prática para a prova: verifique rapidamente se as entradas diagonais são reais (aqui 0 e 1 são reais) e se o elemento acima da diagonal é o conjugado do elemento abaixo da diagonal (aqui \overline{4-i}=4+i e \overline{4+i}=4-i); se sim, é hermitiano.]

Resposta

Hermitiano

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