\text{A matriz }B\text{ é }2\times2,\quad B_{12}=3+4i,\quad B_{21}=3-4i,\quad B_{11}=B_{22}=0.é
O que precisamos devolver: os autovalores (valores de \lambda tais que exista vetor não nulo v com Bv=\lambda v) e, para cada autovalor, um autovetor correspondente (pode ser apresentado não normalizado; depois mostro a versão normalizada).]
Passo 2
Vamos calcular os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(B-\lambda I)=0.
Primeiro relembre (mini-aula): para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
o determinante é ad-bc. Aplicando isso a B-\lambda I temos
Observação intuitiva (rápida): como B tem entradas fora da diagonal que são conjugadas, B é uma matriz hermitiana; isso já sugeria autovalores reais, o que conferimos acima.]
Passo 3
Agora vamos achar os autovetores associados a \lambda=5.
Queremos vetores não nulos v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} tais que (B-5I)v=0. Escrevendo o sistema linear:
Comentário didático sobre normalização e ortogonalidade (importante para prova):
Norma de um vetor complexo v=\begin{pmatrix}v_1\\\ v_2\end{pmatrix} é \|v\|=\sqrt{|v_1|^2+|v_2|^2}, onde |\cdot| é o módulo de um complexo. Ex.: |3+4i|^2=3^2+4^2=25.