Encontre os autovalores e autovetores das matrizes complexas abaixo.
B=\left(\begin{array}{cc}0 & 3+4 i \\\\ 3-4 i & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os autovalores e autovetores da matriz complexa
B=\begin{pmatrix}0 & 3+4i\\[4pt]3-4i & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{A matriz }B\text{ é }2\times2,\quad B_{12}=3+4i,\quad B_{21}=3-4i,\quad B_{11}=B_{22}=0.é
O que precisamos devolver: os autovalores (valores de \lambda tais que exista vetor não nulo v com Bv=\lambda v) e, para cada autovalor, um autovetor correspondente (pode ser apresentado não normalizado; depois mostro a versão normalizada).]

Passo 2

Vamos calcular os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(B-\lambda I)=0.
Primeiro relembre (mini-aula): para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
o determinante é ad-bc. Aplicando isso a B-\lambda I temos
B-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & 3+4i\\[4pt]3-4i & -\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(B-\lambda I)=(-\lambda)(-\lambda)-(3+4i)(3-4i)=\lambda^2-(3+4i)(3-4i).
Agora uma pequena lição sobre números complexos: o produto de um complexo pela sua conjugada dá o quadrado do módulo,
(3+4i)(3-4i)=|3+4i|^2=3^2+4^2=9+16=25.
Portanto o polinômio característico fica
\lambda^2-25=0.
Resolvendo,
\lambda^2=25\quad\Rightarrow\quad \lambda=5\quad\text{ou}\quad \lambda=-5.
Observação intuitiva (rápida): como B tem entradas fora da diagonal que são conjugadas, B é uma matriz hermitiana; isso já sugeria autovalores reais, o que conferimos acima.]

Passo 3

Agora vamos achar os autovetores associados a \lambda=5.
Queremos vetores não nulos v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} tais que (B-5I)v=0. Escrevendo o sistema linear:
\begin{pmatrix}-5 & 3+4i\\[4pt]3-4i & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Isso corresponde ao sistema de equações
-5x+(3+4i)y=0,
(3-4i)x-5y=0.
Explico passo a passo a solução: da primeira equação isolamos x:
-5x+(3+4i)y=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{3+4i}{5}\,y.
Para obter um autovetor simples sem fração, escolhemos um valor conveniente para y. Tomando y=5 (escolha típica para cancelar o denominador) obtemos
x=3+4i.
Portanto um autovetor correspondente a \lambda=5 é
v_1=\begin{pmatrix}3+4i\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Verificação rápida (útil em prova): substituir em segunda equação:
(3-4i)(3+4i)-5\cdot5=25-25=0,
logo consistente.]

Passo 4

Agora os autovetores associados a \lambda=-5.
Resolver (B+5I)v=0, i.e.
\begin{pmatrix}5 & 3+4i\\[4pt]3-4i & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},
o que dá o sistema
5x+(3+4i)y=0,
(3-4i)x+5y=0.
Da primeira equação isolamos x:
5x=-(3+4i)y\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{3+4i}{5}\,y.
Escolhendo novamente y=5 (para evitar frações) vem
x=-(3+4i),
logo um autovetor conveniente é
v_2=\begin{pmatrix}-(3+4i)\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Verificação rápida na segunda equação:
(3-4i)\bigl(-(3+4i)\bigr)+5\cdot5=-25+25=0,
confirmando.]

Passo 5

Comentário didático sobre normalização e ortogonalidade (importante para prova):
  • Norma de um vetor complexo v=\begin{pmatrix}v_1\\\ v_2\end{pmatrix} é \|v\|=\sqrt{|v_1|^2+|v_2|^2}, onde |\cdot| é o módulo de um complexo. Ex.: |3+4i|^2=3^2+4^2=25.
  • Para v_1 temos
\|v_1\|^2=|3+4i|^2+|5|^2=25+25=50\quad\Rightarrow\quad \|v_1\|=5\sqrt{2}.
  • Mesma norma para v_2:
\|v_2\|^2=|-(3+4i)|^2+|5|^2=25+25=50.
  • Vetores associados a autovalores distintos de uma matriz hermitiana são ortogonais no produto interno hermitiano. Podemos checar:
\langle v_1,v_2\rangle=\overline{3+4i}\cdot (-(3+4i))+\overline{5}\cdot 5=(3-4i)(-(3+4i))+25=-25+25=0.
  • Se quiser os autovetores normalizados (com norma 1), basta dividir por 5\sqrt{2}:
\hat v_1=\frac{1}{5\sqrt{2}}\begin{pmatrix}3+4i\\[4pt]5\end{pmatrix},\qquad \hat v_2=\frac{1}{5\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-(3+4i)\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Resposta

\lambda=5,\quad v=\begin{pmatrix}3+4i\\[4pt]5\end{pmatrix} (autovetor, não normalizado)\n
\lambda=-5,\quad v=\begin{pmatrix}-(3+4i)\\[4pt]5\end{pmatrix} (autovetor, não normalizado)]

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