(1,0) Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F), provando as verdadeiras e fornecendo um contra-exemplo para as falsas.
(a) () Se
e
são sequências convergentes,
, para todo
, então
.
(b) ( ) Se
, onde
, e
, para todo
, então
.
(c) () Se (
) é uma sequência convergente, então (
) é de Cauchy.
(d) () Se a série
é convergente e
, para todo
, então a série
também converge.
(e) () Se
, para todo
, e
é convergente, então
.
(a) () Se
(b) ( ) Se
(c) () Se (
(d) () Se a série
(e) () Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) cinco afirmações sobre sequências e séries, usando limites, teorema do sanduíche, noção de Cauchy, convergência de séries e monotonia. Para cada verdadeira, apresentaremos uma prova; para cada falsa, um contra-exemplo.
Passo 2
(a) Afirmação: “Se
e
convergem e
para todo
, então
.”
Contra-exemplo: tome
Então para todo
, mas
Logo a afirmação é falsa.
Contra-exemplo: tome
Então
Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
(b) Afirmação: “Se
e
para todo
, então
.”
Prova: como , dado
existe
tal que para
e
.
Da desigualdade segue
assim . Portanto
e a afirmação é verdadeira.
Prova: como
Da desigualdade
assim
Passo 4
(c) Afirmação: “Se
é convergente, então é de Cauchy.”
Prova: num espaço completo como , toda sequência convergente é de Cauchy. Explicitamente, se
, dado
existe
tal que para
se tem
. Então para
Logo é Cauchy e a afirmação é verdadeira.
Prova: num espaço completo como
Logo
Passo 5
(d) Afirmação: “Se a série
converge e
para todo
, então
converge.”
Contra-exemplo: seja
, de modo que
converge, e defina
Para todo temos
, isto é,
, porém
diverge. Portanto a afirmação é falsa.
Contra-exemplo: seja
Para todo
Passo 6
(e) Afirmação: “Se
para todo
e
converge, então
.”
Prova: convergência de implica
. Como
é não-decrescente e tende a
, temos
para todo
(caso contrário não poderia subir até
). Logo
para todo
e
. A afirmação é verdadeira.
Prova: convergência de
Resposta
(a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V