(1,0) Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F), provando as verdadeiras e fornecendo um contra-exemplo para as falsas.
(a) () Se (xn) e (yn) são sequências convergentes, com xn<yn, para todo n in N, então lim xn<lim yn.
(b) ( ) Se lim xn=a=lim yn, onde a in R, e xn <= zn <= yn, para todo n in N, então lim zn=a.
(c) () Se ( xn ) é uma sequência convergente, então ( xn ) é de Cauchy.
(d) () Se a série sum bn é convergente e an <= bn, para todo n in N, então a série sum an também converge.
(e) () Se an+1 >= an >= 0, para todo n in N, e sum an é convergente, então lim n an=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) cinco afirmações sobre sequências e séries, usando limites, teorema do sanduíche, noção de Cauchy, convergência de séries e monotonia. Para cada verdadeira, apresentaremos uma prova; para cada falsa, um contra-exemplo.

Passo 2

(a) Afirmação: “Se (xn) e (yn) convergem e xn<yn para todo n, então lim xn<lim yn.”
Contra-exemplo: tome
xn=1n, yn=2n
Então xn<yn para todo n, mas
limntoinftyxn=0=limntoinftyyn
Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

(b) Afirmação: “Se lim xn=a=lim yn e xn<= zn<= yn para todo n, então lim zn=a.”
Prova: como lim xn=lim yn=a, dado varepsilon>0 existe N tal que para n>= N
,|xn-a|<varepsilon e |yn-a|<varepsilon.
Da desigualdade xn<= zn<= yn segue
-varepsilon< xn-a<= zn-a<= yn-a<varepsilon,
assim |zn-a|<varepsilon. Portanto lim zn=a e a afirmação é verdadeira.

Passo 4

(c) Afirmação: “Se (xn) é convergente, então é de Cauchy.”
Prova: num espaço completo como R, toda sequência convergente é de Cauchy. Explicitamente, se xnto L, dado varepsilon>0 existe N tal que para n>= N se tem |xn-L|<varepsilon/2. Então para m,n>= N
,|xn-xm|<=|xn-L|+|xm-L|<varepsilon
Logo (xn) é Cauchy e a afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) Afirmação: “Se a série sum bn converge e an<= bn para todo n, então sum an converge.”
Contra-exemplo: seja
bn=1n^2, de modo que sum bn converge, e defina
an=-1n
Para todo n temos -1/n<=1/n^2, isto é, an<= bn, porém
sum an=-sum1n diverge. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 6

(e) Afirmação: “Se an+1>= an>=0 para todo n e sum an converge, então lim n,an=0.”
Prova: convergência de sum an implica anto0. Como (an) é não-decrescente e tende a 0, temos an=0 para todo n (caso contrário não poderia subir até 0). Logo n,an=0 para todo n e lim n,an=0. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V

Exercícios relacionados