(2,0) Disserte sobre o tema Teorema do Núcleo e Imagem. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
  • Transformações Lineares,
  • Injetividade, sobrejetividade e isomorfismo,
  • Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 1

O enunciado pede uma dissertação sobre o Teorema do Núcleo e Imagem, abordando também Transformações Lineares, Injetividade, Sobrejetividade e Isomorfismo. Vamos precisar:
– Definir transformação linear entre espaços vetoriais.
– Introduzir núcleo () e imagem ( ).
– Mostrar como essas noções caracterizam injeção e sobrejeção.
– Enunciar e provar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão, também chamado Rank–Nullity).
– Relacionar com isomorfismos.

Passo 2

Definimos uma transformação linear T: V to W entre espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K como uma aplicação que satisfaz, para todo u,v in V e todo escalar alphainK:
T(u+v) = T(u) + T(v), T(alpha,u) = alpha,T(u)
Dessa forma, T preserva soma de vetores e produto por escalar.

Passo 3

Introduzimos dois subespaços associados a :
– O núcleo (ou kernel):
– A imagem (ou alcance):
Ambos são subespaços vetoriais de e , respectivamente.

Passo 4

Mostramos como injetividade e sobrejetividade se traduzem em propriedades de e :
é injetora se e somente se . Aqui, pedir que apenas o vetor zero seja enviado em zero garante que não há duas origens distintas com mesma imagem.
é sobrejetora se e somente se . Isto é, todo vetor de é atingido por algum vetor de .

Passo 5

Enunciamos o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity):
se é de dimensão finita, então
Esboço de prova:
. Tome uma base de .
. Complete essa base a uma base de adicionando vetores .
. Mostre que é base de .
. Conclui-se , ou seja, .

Passo 6

Finalmente, relacionamos com isomorfismo.
Uma transformação linear é isomorfismo se é bijetora (injeção sobrejeção). Pelo que vimos:
– Injetora .
– Sobrejetora .
Mas pelo teorema, . Logo, se e , então e é bijetora. Assim, qualquer aplicação linear entre espaços de mesma dimensão é isomorfismo se e somente se for injetora (ou, equivalentemente, se for sobrejetora).

Resposta

O Teorema do Núcleo e Imagem afirma que, para com ,
Além disso, é injetora exatamente quando e sobrejetora exatamente quando . Em particular, se , qualquer aplicação linear injetora (ou sobrejetora) é um isomorfismo.

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