(2,0) Disserte sobre o tema Teorema do Núcleo e Imagem. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
- Transformações Lineares,
- Injetividade, sobrejetividade e isomorfismo,
- Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 1
O enunciado pede uma dissertação sobre o Teorema do Núcleo e Imagem, abordando também Transformações Lineares, Injetividade, Sobrejetividade e Isomorfismo. Vamos precisar:
– Definir transformação linear entre espaços vetoriais.
– Introduzir núcleo () e imagem ( ).
– Mostrar como essas noções caracterizam injeção e sobrejeção.
– Enunciar e provar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão, também chamado Rank–Nullity).
– Relacionar com isomorfismos.
– Definir transformação linear entre espaços vetoriais.
– Introduzir núcleo () e imagem (
– Mostrar como essas noções caracterizam injeção e sobrejeção.
– Enunciar e provar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão, também chamado Rank–Nullity).
– Relacionar com isomorfismos.
Passo 2
Definimos uma transformação linear
entre espaços vetoriais sobre um mesmo corpo
como uma aplicação que satisfaz, para todo
e todo escalar
:
Dessa forma,
preserva soma de vetores e produto por escalar.
Passo 3
Introduzimos dois subespaços associados a
:
– O núcleo (ou kernel):
– O núcleo (ou kernel):
– A imagem (ou alcance):
Ambos são subespaços vetoriais de
e
, respectivamente.
Passo 4
Mostramos como injetividade e sobrejetividade se traduzem em propriedades de e
:
– é injetora se e somente se . Aqui, pedir que apenas o vetor zero seja enviado em zero garante que não há duas origens distintas com mesma imagem.
– é sobrejetora se e somente se
. Isto é, todo vetor de
é atingido por algum vetor de
.
–
–
Passo 5
Enunciamos o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity):
se é de dimensão finita, então
se
Esboço de prova:
. Tome uma base
de .
. Complete essa base a uma base de
adicionando vetores
.
. Mostre que
é base de
.
. Conclui-se
, ou seja, .
Passo 6
Finalmente, relacionamos com isomorfismo.
Uma transformação linear é isomorfismo se é bijetora (injeção
sobrejeção). Pelo que vimos:
– Injetora .
– Sobrejetora .
Mas pelo teorema, . Logo, se e , então
e
é bijetora. Assim, qualquer aplicação linear entre espaços de mesma dimensão é isomorfismo se e somente se for injetora (ou, equivalentemente, se for sobrejetora).
Uma transformação linear
– Injetora .
– Sobrejetora
Mas pelo teorema, . Logo, se
Resposta
O Teorema do Núcleo e Imagem afirma que, para
com
,
Além disso,
é injetora exatamente quando e sobrejetora exatamente quando
. Em particular, se
, qualquer aplicação linear injetora (ou sobrejetora) é um isomorfismo.