Exercício 13 (K.11.4 Ex:3)
Seja
uma função
-periódica e Riemann integrável. Mostre que os coeficientes
e
se relacionam da seguinte forma:
(Dica: Foi feito em sala de aula)
Seja
Passo 1
O enunciado trata das duas formas de escrever a série de Fourier de uma função
-periódica e Riemann-integrável
:
. a forma trigonométrica
em que
em que
.
Para relacionar com
vamos comparar termo a termo essas duas somas e usar as fórmulas de Euler
Para relacionar
Passo 2
Compare o termo de frequência zero em cada expansão.
Na forma trigonométrica o termo constante é .
Na forma exponencial o termo constante é .
Concluímos imediatamente que
Na forma trigonométrica o termo constante é
Na forma exponencial o termo constante é
Concluímos imediatamente que
Passo 3
Agora pegue um
.
Na forma exponencial aparecem juntos os termos
Na forma exponencial aparecem juntos os termos
Use as fórmulas de Euler para reescrever
Passo 4
Na forma trigonométrica o coeficiente de
é
e o de
é
. Como as duas séries são iguais termo a termo, obtemos para todo
: