Exercício 13 (K.11.4 Ex:3)
Seja f: R C uma função 2 pi-periódica e Riemann integrável. Mostre que os coeficientes an, bn e cn se relacionam da seguinte forma:
2 a0=c0, an=cn+c-n, n>0 bn=i(cn-c-n), n>0
(Dica: Foi feito em sala de aula)

Passo 1

O enunciado trata das duas formas de escrever a série de Fourier de uma função 2pi-periódica e Riemann-integrável f:
1. a forma trigonométrica
f(x)sim 2a0 ; + ; sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r),
em que
a0,,an,,bn;=;coeficientes reais;
2. a forma exponencial
f(x)sim sumn=-infty^inftycne^inx,
em que
;cn=dfrac12piintegral0^2pif(x)e^-inx,dx.
Para relacionar an,bn com cn vamos comparar termo a termo essas duas somas e usar as fórmulas de Euler
e^inx+e^-inx=2cos(nx), e^inx-e^-inx=2isin(nx)

Passo 2

Compare o termo de frequência zero em cada expansão.
Na forma trigonométrica o termo constante é 2a0.
Na forma exponencial o termo constante é c0.
Concluímos imediatamente que
2a0=c0

Passo 3

Agora pegue um n>0.
Na forma exponencial aparecem juntos os termos
cne^inx+c-ne^-inx
Use as fórmulas de Euler para reescrever
cne^inx+c-ne^-inx =(cn+c-n)cos(nx) ;+; i,(cn-c-n)sin(nx)

Passo 4

Na forma trigonométrica o coeficiente de cos(nx) é an e o de sin(nx) é bn. Como as duas séries são iguais termo a termo, obtemos para todo n>0:
an=cn+c-n, bn=il(cn-c-nr)

Resposta

2a0=c0, an=cn+c-n;(n>0), bn=il(cn-c-nr);(n>0)

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