1. Sejam e constantes com . Determine o(s) intervalo(s) onde é crescente e o(s) intervalo(s) onde tem concavidade para baixo, sendo:
Inicialmente, vamos calcular a derivada de :
Vamos determinar os pontos críticos de :
Estudo do sinal de :
Intervalo
Sinal de + - +
Comportamento de crescente decrescente crescente
Calculando a derivada segunda de , temos:
Estudo do sinal de :
Intervalo
Sinal de - +
Concavidade de para baixo para cima

Passo 1

O enunciado pede os intervalos em que a função
f(x)=x^33-(a+b),x^22+a b,x+a^2+b^2
é crescente e em que ela é côncava para baixo. Para isso vamos calcular a primeira derivada f' (para monotonicidade) e a segunda derivada f'' (para concavidade).

Passo 2

Calcular a primeira derivada f'(x) usando regras de potenciação e soma:
f'(x)=ddxl(tfracx^33r)- (a+b),ddxl(tfracx^22r)+ddx(a b,x) =x^2-(a+b),x+a b

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Como f'(x) é um polinômio quadrático, temos
x^2-(a+b),x+a b=0
que fatoriza em (x-a)(x-b)=0. Logo os zeros são
x=a e x=b

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x). Como o coeficiente de x^2 em f'(x) é positivo, o gráfico de f' é uma parábola sorrindo, logo
  • Para x<a, f'(x)>0.
  • Para a<x<b, f'(x)<0.
  • Para x>b, f'(x)>0.
Isso significa que f é crescente em (-infty,a) e em (b,infty), e decrescente em (a,b).

Passo 5

Calcular a segunda derivada f''(x) para estudar concavidade:
f''(x)=ddxl(x^2-(a+b),x+a br) =2,x-(a+b)

Passo 6

Determinar onde f''(x)<0. A raiz de f'' é
2,x-(a+b)=0 ;Longrightarrow; x=a+b2
Como o coeficiente de x em f'' é positivo, temos
  • Para x<a+b2, f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Para x>a+b2, f''(x)>0 (concavidade para cima).

Resposta

A função é crescente em
(-infty,a),cup,(b,infty),
e tem concavidade para baixo em
l(-infty,tfraca+b2r)

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