- Sejam
e
constantes com
. Determine o(s) intervalo(s) onde
é crescente e o(s) intervalo(s) onde
tem concavidade para baixo, sendo:
Inicialmente, vamos calcular a derivada de
:
Vamos determinar os pontos críticos de
:
Estudo do sinal de
:
Intervalo
Sinal de
+
-
+
Comportamento de
crescente
decrescente
crescente
Calculando a derivada segunda de
, temos:
Estudo do sinal de
:
Intervalo
Sinal de
-
+
Concavidade de
para baixo
para cima
Intervalo |
|
|
|
Sinal de
|
+ | - | + |
Comportamento de
|
crescente | decrescente | crescente |
Intervalo |
|
|
Sinal de
|
- | + |
Concavidade de
|
para baixo | para cima |
Passo 1
O enunciado pede os intervalos em que a função
é crescente e em que ela é côncava para baixo. Para isso vamos calcular a primeira derivada
(para monotonicidade) e a segunda derivada
(para concavidade).
Passo 2
Calcular a primeira derivada
usando regras de potenciação e soma:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
. Como
é um polinômio quadrático, temos
que fatoriza em
. Logo os zeros são
Passo 4
Analisar o sinal de
. Como o coeficiente de
em
é positivo, o gráfico de
é uma parábola sorrindo, logo
- Para
, . - Para
, . - Para
, .
Isso significa que
é crescente em
e em
, e decrescente em
.
Passo 5
Calcular a segunda derivada
para estudar concavidade:
Passo 6
Determinar onde
. A raiz de
é
Como o coeficiente de
em
é positivo, temos
- Para
, (concavidade para baixo). - Para
, (concavidade para cima).
Resposta
A função é crescente em
e tem concavidade para baixo em