Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{\ln (n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{\ln(n+2)}
em (D) divergente, (AC) absolutamente convergente ou (CD) condicionalmente convergente. O conteúdo que vamos usar é teste de convergência absoluta e critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta analisando
\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+2)}\right| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\ln(n+2)}.
Para n grande, \ln(n+2)\sim\ln n e temos um termo geral que decai como 1/\ln n. Essa série diverge porque
\int^\infty\frac{dx}{\ln x}=\infty
(comparação com integral de 1/\ln x). Logo não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para verificar convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz à série alternada com b_n=1/\ln(n+2). Precisamos de duas coisas:
  1. \lim_{n\to\infty}b_n=0, o que é claro pois \ln(n+2)\to\infty.
  2. b_n é monótona decrescente. De fato, definindo f(x)=1/\ln(x+2) para x\ge1, temos
f'(x)=-\frac{1}{(x+2)\bigl(\ln(x+2)\bigr)^2}<0,
ou seja, b_n=f(n) decresce. Assim, pela Leibniz, a série converge.

Resposta

(CD) condicionalmente convergente.

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