Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{\ln n}{n-\ln n})

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O enunciado pede para classificar a série \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{n-\ln n}em uma das três categorias: (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente, ou (AC) absolutamente convergente.
  • Informação dada: o termo geral é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{\ln n}{n-\ln n}. Para n\ge1 temos \ln n\ge0 (com \ln1=0), e para grandes n o denominador n-\ln n é positivo e comporta-se como n.
  • Objetivo: decidir se a série converge e, se converge, se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente.

Passo 2

Vou verificar primeiro a convergência absoluta: analisar a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n+1}\frac{\ln n}{n-\ln n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n-\ln n}.
Se esta série divergir, a série original não é absolutamente convergente; se convergir, já é (AC).

Passo 3

Comparação assintótica e comparação simples. Note que, para todo n\ge1,
n-\ln n \le n,
logo
\frac{\ln n}{n-\ln n} \ge \frac{\ln n}{n}.
Portanto, se a série \sum \dfrac{\ln n}{n} diverge, a série dos módulos também diverge por comparação (pois tem termos maiores ou iguais).

Passo 4

Provar que \sum \dfrac{\ln n}{n} diverge. Uso do teste da integral (ou cálculo direto da primitiva). Considere a função contínua positiva f(x)=\dfrac{\ln x}{x} para x\ge2. Então
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln x}{x}\,dx
pode ser calculada por substituição: note que \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}, portanto
\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.
Assim
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln x}{x}\,dx = \lim_{t\to\infty} \frac{(\ln t)^2}{2} - \frac{(\ln 2)^2}{2} = \infty.
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
diverge. (O primeiro termo n=1 é zero e não altera a conclusão.)
Logo, pela desigualdade do Passo 3, \sum \dfrac{\ln n}{n-\ln n} diverge. Conclusão: a série original NÃO é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora é preciso verificar se a série converge (mas não absolutamente), ou diverge de forma oscilante. Observemos que a série é alternante, com termos da forma
a_n = (-1)^{n+1} b_n,\qquad b_n=\frac{\ln n}{n-\ln n}\ge0.
Vou checar as hipóteses do Teste de Leibniz (teste da série alternante): (i) b_n\to0 quando n\to\infty; (ii) b_n é monótona decrescente a partir de algum N.

Passo 6

Verificação de \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Considere a função contínua g(x)=\dfrac{\ln x}{x}. Pelo resultado clássico (pode usar L’Hôpital), tem-se
\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x}=0.
Mais formalmente, aplicando L’Hôpital ao quociente \dfrac{\ln x}{x} (forma \infty/\infty):
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0.
Como b_n=\dfrac{\ln n}{n-\ln n} e n-\ln n\sim n quando n\to\infty, também segue que
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
(Especificamente, \dfrac{\ln n}{n-\ln n} \le \dfrac{\ln n}{n(1-\frac{\ln n}{n})} e o denominador tende a 1, então o quociente tende a 0.)

Passo 7

Verificação de monotonicidade eventual de b_n.
Defina a função contínua
f(x)=\frac{\ln x}{x-\ln x},\qquad x>1.
Calcule a derivada f'(x) para decidir o sinal:
f'(x)=\frac{\big(\dfrac{1}{x}\big)(x-\ln x)-\ln x\big(1-\dfrac{1}{x}\big)}{(x-\ln x)^2}.
Simplificando o numerador:
\big(\dfrac{1}{x}\big)(x-\ln x)-\ln x\big(1-\dfrac{1}{x}\big) =1-\ln x.
Portanto
f'(x)=\frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}.
O denominador (x-\ln x)^2 é sempre positivo para x>1. Assim o sinal de f'(x) é o sinal de 1-\ln x. Em particular, para x\ge e (onde \ln x\ge1) temos 1-\ln x\le0, logo f'(x)\le0 para todo x\ge e. Isso mostra que f é decrescente em [e,\infty). Consequentemente a sequência b_n=f(n) é decrescente a partir de n\ge\lceil e\rceil=3.
Assim ambas as hipóteses do Teste de Leibniz são satisfeitas: b_n\ge0, b_n decresce para zero a partir de algum N.

Passo 8

Aplicando o Teste de Leibniz (teste da série alternante): se (b_n) é positiva, decrescente (a partir de algum índice) e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n
converge. Pelo Passo 6–7 isso vale para nossa série. Portanto a série original converge, mas do Passo 4 vimos que não converge absolutamente.
Conclusão: a série é convergente, porém não absolutamente; isto é, é condicionalmente convergente.

Resposta

(CD)

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