Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n+10}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+10}}.
O que é pedido: classificar a série como (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente.
Informações relevantes que já aparecem no enunciado:
  • Os sinais alternam, porque há o fator (-1)^{n+1}.
  • Os termos de módulo são a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+10}}, que são positivos.
  • A série pode ser vista como uma série alternante com termos a_n.

Passo 2

Vamos checar se a série alternante converge pelo Critério de Leibniz (teste da série alternante). Esse teste diz:
  • Se \{a_n\} é uma sequência de números positivos, monotonamente decrescente (a partir de algum n) e \lim_{n\to\infty} a_n = 0, então a série \sum (-1)^{n} a_n converge.
Primeira condição: verificar \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Aqui
a_n=\frac{1}{\sqrt{n+10}}.
Como \sqrt{n+10}\to\infty quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n+10}} = 0.
Explicando de forma simples: o denominador cresce sem limite, então a fração tende a zero.

Passo 3

Segunda condição do critério: verificar que a_n é monotonicamente decrescente (para todo n suficientemente grande).
Compare a_{n+1} e a_n:
a_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+11}}<\frac{1}{\sqrt{n+10}}=a_n,
pois \sqrt{n+11}>\sqrt{n+10} e tomar recíproco inverte a desigualdade. Portanto \{a_n\} é decrescente para todo n\ge 1.
Como temos \lim_{n\to\infty} a_n=0 e a_n decrescente, o Critério de Leibniz garante que a série alternante converge.

Passo 4

Agora verificar convergência absoluta: considerar a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+10}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+10}}.
Para testar se essa série converge, compare com a série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{1/2}}, que é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}. Sabe-se que uma p-série \sum 1/n^{p} converge só quando p>1; aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, então \sum 1/n^{1/2} diverge.
Usamos o Teste da Comparação Límite (limit comparison): calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n+10}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+10}} =1.
O limite é finito e não nulo, portanto \sum \dfrac{1}{\sqrt{n+10}} e \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Como \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge, conclui-se que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+10}}
também diverge. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 5

Resumo das conclusões (sem usar a etiqueta final pedida ainda):
  • A série original é uma série alternante cujos termos em módulo a_n são decrescentes e tendem a zero, portanto a série converge (pela série alternante).
  • A série dos módulos diverge (por comparação limite com a p-série p=\tfrac{1}{2}), então não há convergência absoluta.

Resposta

CD

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