Utilize as leis dos expoentes para calcular as seguintes quantidades:
\left(2^{\frac{1}{2}} 2^{\frac{1}{4}}\right)^{4}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que nos foi dado. O que temos é a expressão
\left(2^{\frac{1}{2}} 2^{\frac{1}{4}}\right)^{4}.
As informações relevantes:
  • Há um produto de potências com a mesma base 2: 2^{\frac{1}{2}} e 2^{\frac{1}{4}}.
  • Esse produto inteiro está elevado à potência 4.
    O objetivo é calcular o valor numérico dessa expressão.

Passo 2

Relembrando as leis dos expoentes que vamos usar (explicando cada uma com calma):
  • Regra do produto de potências com mesma base:
a^{p}\,a^{q}=a^{p+q}.
Aqui a é a base (qualquer número), e p,q são expoentes. Exemplo: 2^{3}2^{2}=2^{3+2}=2^{5}.
  • Regra da potência de potência:
\bigl(a^{p}\bigr)^{q}=a^{p\cdot q}.
Significa que, quando uma potência é elevada a outra potência, multiplica-se os expoentes. Exemplo: \bigl(3^{2}\bigr)^{4}=3^{2\cdot4}=3^{8}.
  • (Opcionalmente) Regra da potência do produto:
(ab)^{p}=a^{p}b^{p}.
Não vamos precisar dela diretamente, mas é útil saber.

Passo 3

Aplicar a regra do produto de potências com mesma base ao fator dentro dos parênteses:
2^{\frac{1}{2}}\,2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}.
Agora somamos as frações dos expoentes. Calcule:
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Portanto o interior fica 2^{\frac{3}{4}}.

Passo 4

Substituindo na expressão original, temos
\left(2^{\frac{3}{4}}\right)^{4}.
Agora aplicamos a regra da potência de potência, multiplicando os expoentes:
\left(2^{\frac{3}{4}}\right)^{4}=2^{\frac{3}{4}\cdot 4}.
Calcule o produto dos expoentes: \dfrac{3}{4}\cdot 4=\dfrac{3\cdot 4}{4}=3.
Logo a expressão simplifica para 2^{3}.

Passo 5

Como verificação alternativa (cheque rápido usando outra forma): distribuir a potência 4 dentro do parêntese usando (ab)^{p}=a^{p}b^{p},
\left(2^{\frac{1}{2}}2^{\frac{1}{4}}\right)^{4}=2^{4\cdot\frac{1}{2}}\,2^{4\cdot\frac{1}{4}}=2^{2}\,2^{1}=2^{2+1}=2^{3}.
Isso confirma que a forma reduzida é 2^{3}.

Resposta

8

Exercícios relacionados