Utilize as leis dos expoentes para calcular as seguintes quantidades:
\frac{3^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3}}.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a expressão abaixo:
\frac{3^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3}}.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • Temos a potência 3^{\frac{3}{2}}.
  • Temos a raiz quadrada \sqrt{3}.
    O que precisamos entregar: o valor simplificado dessa expressão.

Passo 2

Primeiro lembrete importante sobre notação de radicais e expoentes fracionários: a raiz quadrada pode ser escrita como potência com expoente 1/2. Ou seja,
\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}.
Isto é uma igualdade básica: a operação de raiz quadrada corresponde a elevar ao expoente 1/2.

Passo 3

Reescrevendo a expressão usando essa igualdade, obtemos:
\frac{3^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3}}=\frac{3^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}.
Agora a expressão está na forma de divisão entre potências de mesma base.

Passo 4

Lei dos expoentes para divisão (essencial aqui): para qualquer base a\neq 0 e expoentes m,n, vale
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Explicação curta: dividir potências de mesma base significa subtrair os expoentes. Essa é a ferramenta que vamos usar.

Passo 5

Aplicando a lei ao nosso caso, com a=3, m=\tfrac{3}{2} e n=\tfrac{1}{2}:
\frac{3^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}=3^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}.
Agora calculamos a diferença dos expoentes fracionários.

Passo 6

Subtraindo frações com o mesmo denominador:
\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1.
Portanto o expoente resultante é 1.

Passo 7

Com isso:
3^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}=3^{1}=3.
Como verificação alternativa (opcional): 3^{\frac{3}{2}}=(\sqrt{3})^{3}=(\sqrt{3})^{2}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}, e dividindo por \sqrt{3} resulta em 3. Ambas as vias dão o mesmo resultado.

Resposta

3

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