Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{(\operatorname{sen} n){2}}{n{2}})
em uma das três categorias: (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. Informação dada: o termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}. Não há mais dados numéricos; a soma é sobre n=1,2,3,\dots.
Passo 2
Vou lembrar claramente o que significam as três classificações (para você poder usar na prova):
Absolutamente convergente (AC): a série original \sum a_n é tal que a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n também converge.
Condicionalmente convergente (CD): \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge. Ou seja, a convergência não resiste quando se tira o sinal.
Divergente (D): a série \sum a_n não converge.
A estratégia óbvia: testar primeiro a convergência absoluta verificando \sum |a_n|. Se essa convergir, já temos (AC). Se divergir, aí testar se \sum a_n converge condicionalmente.
Portanto, precisamos estudar a convergência de \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(\sin n)^{2}}{n^{2}} (onde escrevo \sin no TeX, que corresponde a \operatorname{sen} em português).
Passo 4
Usar teste de comparação simples: para todo n vale
A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} é uma série p- (p-series) com p=2. Pelo teste da série p, quando p>1 a série converge. Logo \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge.
Passo 5
Como \dfrac{(\sin n)^{2}}{n^{2}} é um termo não negativo sempre menor ou igual a \dfrac{1}{n^{2}}, e \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, pelo teste da comparação (compare termos não negativos) concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}}
converge. Ou seja, a série dos valores absolutos converge.
Passo 6
Se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge e, mais especificamente, é absolutamente convergente. Portanto a classificação pedida é (AC).