Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{(\operatorname{sen} n){2}}{n{2}})

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\,\frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}
em uma das três categorias: (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. Informação dada: o termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}. Não há mais dados numéricos; a soma é sobre n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vou lembrar claramente o que significam as três classificações (para você poder usar na prova):
  • Absolutamente convergente (AC): a série original \sum a_n é tal que a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n também converge.
  • Condicionalmente convergente (CD): \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge. Ou seja, a convergência não resiste quando se tira o sinal.
  • Divergente (D): a série \sum a_n não converge.
A estratégia óbvia: testar primeiro a convergência absoluta verificando \sum |a_n|. Se essa convergir, já temos (AC). Se divergir, aí testar se \sum a_n converge condicionalmente.

Passo 3

Escrevendo a série de valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n+1}\,\frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\operatorname{sen} n)^{2}}{n^{2}}.
Portanto, precisamos estudar a convergência de \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(\sin n)^{2}}{n^{2}} (onde escrevo \sin no TeX, que corresponde a \operatorname{sen} em português).

Passo 4

Usar teste de comparação simples: para todo n vale
0 \le (\sin n)^{2} \le 1,
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0 \le \frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.
A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} é uma série p- (p-series) com p=2. Pelo teste da série p, quando p>1 a série converge. Logo \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge.

Passo 5

Como \dfrac{(\sin n)^{2}}{n^{2}} é um termo não negativo sempre menor ou igual a \dfrac{1}{n^{2}}, e \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, pelo teste da comparação (compare termos não negativos) concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\sin n)^{2}}{n^{2}}
converge. Ou seja, a série dos valores absolutos converge.

Passo 6

Se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge e, mais especificamente, é absolutamente convergente. Portanto a classificação pedida é (AC).

Resposta

AC

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