Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
()
()
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu classifique a série em uma das três categorias: (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral da série é
. - A parte positiva associada ao sinal alternante é
. - A série é alternada (os sinais são
).
Passo 2
Primeiro vou testar a convergência absoluta. Definição e ideia: a série é absolutamente convergente (AC) se a série dos valores absolutos converge, isto é, se
converge. Caso esta série dos módulos diverja, não há AC.
Para verificar a convergência de
uso o teste da comparação limite com a série harmônica. Considero a série
que é divergente (harmônica). Calculo o limite
Dividindo numerador e denominador por
tenho
Como esse limite é um número finito e não nulo (
), pelo teste da comparação limite (limit comparison test) a série
tem o mesmo comportamento assintótico da série harmônica
. Como a harmônica diverge, segue que
diverge.
Passo 3
Conclusão sobre a convergência absoluta: a série dos módulos diverge, logo a série original NÃO é absolutamente convergente. Portanto não é (AC).
Passo 4
Agora vou testar a convergência (possivelmente condicional) da série alternada usando o Critério de Leibniz (teste da série alternada). Enunciado do teste (em palavras simples): se
,
é monótona decrescente a partir de algum
e
, então a série alternada
converge.
Vou verificar as três condições para
.
(1)
para todo
. Claro, pois número positivo dividido por positivo é positivo.
(2)
. Mostro isso diretamente:
e
. Portanto por confronto
.
(3)
é monotonicamente decrescente para
grande. Uma forma direta e elegante é estudar a função contínua
e verificar que
é decrescente. Calculo a derivada:
Observando a expressão, para
tem-se
e
, então
para todo
. Logo
é estritamente decrescente em
. Isso implica que a sequência
é decrescente para
. Portanto a condição de monotonicidade do teste de Leibniz está satisfeita.
Passo 5
Pelas verificações acima, todas as hipóteses do Critério de Leibniz valem:
,
é decrescente e
. Logo a série alternada
converge.
Como já mostrei que a soma dos módulos diverge (Passo 2 e 3), a convergência é condicional, isto é, a série converge mas não converge absolutamente.
Resposta
(CD)