Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{n+\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n+\sqrt{n}}
e pede que eu classifique a série em uma das três categorias: (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n+\sqrt{n}}.
  • A parte positiva associada ao sinal alternante é b_n=\dfrac{1}{n+\sqrt{n}}.
  • A série é alternada (os sinais são (-1)^{n+1}).

Passo 2

Primeiro vou testar a convergência absoluta. Definição e ideia: a série é absolutamente convergente (AC) se a série dos valores absolutos converge, isto é, se
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
converge. Caso esta série dos módulos diverja, não há AC.
Para verificar a convergência de \sum b_n uso o teste da comparação limite com a série harmônica. Considero a série \sum \dfrac{1}{n} que é divergente (harmônica). Calculo o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\,\dfrac{1}{n+\sqrt{n}}\,}{\,\dfrac{1}{n}\,} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+\sqrt{n}}.
Dividindo numerador e denominador por n tenho
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}=1.
Como esse limite é um número finito e não nulo ( =1), pelo teste da comparação limite (limit comparison test) a série \sum \dfrac{1}{n+\sqrt{n}} tem o mesmo comportamento assintótico da série harmônica \sum \dfrac{1}{n}. Como a harmônica diverge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}
diverge.

Passo 3

Conclusão sobre a convergência absoluta: a série dos módulos diverge, logo a série original NÃO é absolutamente convergente. Portanto não é (AC).

Passo 4

Agora vou testar a convergência (possivelmente condicional) da série alternada usando o Critério de Leibniz (teste da série alternada). Enunciado do teste (em palavras simples): se b_n\ge 0, b_n é monótona decrescente a partir de algum n e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternada \sum (-1)^{n} b_n converge.
Vou verificar as três condições para b_n=\dfrac{1}{n+\sqrt{n}}.
(1) b_n\ge 0 para todo n. Claro, pois número positivo dividido por positivo é positivo.
(2) \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = 0. Mostro isso diretamente:
0\le b_n = \frac{1}{n+\sqrt{n}}\le\frac{1}{n},
e \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0. Portanto por confronto \lim_{n\to\infty} b_n=0.
(3) b_n é monotonicamente decrescente para n grande. Uma forma direta e elegante é estudar a função contínua
f(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x}},\qquad x\ge 1,
e verificar que f é decrescente. Calculo a derivada:
f'(x) = -\left(1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\,(x+\sqrt{x})^{-2}.
Observando a expressão, para x\ge 1 tem-se 1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>0 e (x+\sqrt{x})^{2}>0, então f'(x)<0 para todo x\ge 1. Logo f é estritamente decrescente em [1,\infty). Isso implica que a sequência b_n=f(n) é decrescente para n\ge 1. Portanto a condição de monotonicidade do teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 5

Pelas verificações acima, todas as hipóteses do Critério de Leibniz valem: b_n\ge 0, b_n é decrescente e b_n\to 0. Logo a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n+\sqrt{n}}
converge.
Como já mostrei que a soma dos módulos diverge (Passo 2 e 3), a convergência é condicional, isto é, a série converge mas não converge absolutamente.

Resposta

(CD)

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