Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{n 2{n}(n+1)!}{3{n} n!})

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série abaixo em (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. A série dada (assumindo soma de n=1 até +\infty) é
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n\,2^{n}(n+1)!}{3^{n} n!}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o termo geral usando a relação entre fatorial de n+1 e n. Note que
\frac{(n+1)!}{n!}=n+1.
Então o termo geral da série se simplifica para
(-1)^{n+1}\,n\,(n+1)\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Assim a série é
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n(n+1)\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.

Passo 3

Para decidir se é absolutamente convergente, consideramos a série das magnitudes (valores absolutos):
\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Essa é uma série de termos positivos. Uma boa ferramenta aqui é o teste da razão (ratio test). Vou explicar esse teste rapidamente: dado uma sequência positiva b_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
Se L<1 então \sum b_n converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplique o teste da razão a b_n=n(n+1)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}. Calculamos
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{(n+1)(n+2)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{n(n+1)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}} =\frac{n+2}{n}\cdot\frac{2}{3} =\left(1+\frac{2}{n}\right)\frac{2}{3}.
Tomando limite quando n\to\infty,
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.
Como L=\dfrac{2}{3}<1, pelo teste da razão a série \sum b_n converge.

Passo 5

A convergência da série das magnitudes significa que a série original converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela converge (de forma mais forte) e não é apenas condicional.

Resposta

(AC)

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