Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{n 2{n}(n+1)!}{3{n} n!})
() \sum(-1)^{n+1} \frac{n 2{n}(n+1)!}{3{n} n!})
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série abaixo em (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. A série dada (assumindo soma de
até
) é
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o termo geral usando a relação entre fatorial de
e
. Note que
Então o termo geral da série se simplifica para
Assim a série é
Passo 3
Para decidir se é absolutamente convergente, consideramos a série das magnitudes (valores absolutos):
Essa é uma série de termos positivos. Uma boa ferramenta aqui é o teste da razão (ratio test). Vou explicar esse teste rapidamente: dado uma sequência positiva
, calcule
Se
então
converge absolutamente; se
diverge; se
o teste é inconclusivo.
Passo 4
Aplique o teste da razão a
. Calculamos
Tomando limite quando
,
Como
, pelo teste da razão a série
converge.
Passo 5
A convergência da série das magnitudes significa que a série original converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela converge (de forma mais forte) e não é apenas condicional.
Resposta
(AC)