Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{\ln n}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}
em uma das três categorias: (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente.
Informações relevantes que temos:
  • O termo geral é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}.
  • A parte positiva (módulo) é b_n=\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}} (para n\ge1, bem definida a partir de n=2 já que \ln1=0).
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n+1}.

Passo 2

Testar a convergência absoluta: considerar a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{\sqrt{n}}.
Se essa série divergir, então a série original não é absolutamente convergente. Para investigar, uso o Teste da Integral (ou simplesmente analiso a integral correspondente), verificando
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx.
Se essa integral divergir, então a série de termos positivos também diverge (por correspondência entre integral e soma para função decrescente positiva).

Passo 3

Cálculo da integral para ver se diverge. Faço a substituição conveniente x=u^2, então dx=2u\,du e \sqrt{x}=u. Assim
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{\sqrt{2}}^{\infty} \frac{\ln(u^2)}{u}\cdot 2u\,du = 2\int_{\sqrt{2}}^{\infty} \ln(u^2)\,du.
Como \ln(u^2)=2\ln u, obtemos
2\int_{\sqrt{2}}^{\infty} \ln(u^2)\,du = 4\int_{\sqrt{2}}^{\infty}\ln u\,du.
Agora calcule a primitiva de \ln u:
\int \ln u\,du = u\ln u - u + C.
Portanto, avaliando o integral impróprio,
4\int_{\sqrt{2}}^{\infty}\ln u\,du = 4\lim_{R\to\infty}\bigl(R\ln R - R\bigr) - \text{const}.
Como R\ln R - R \to \infty quando R\to\infty, a integral diverge para +\infty. Logo
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = \infty.
Pelo Teste da Integral, a série \sum \dfrac{\ln n}{\sqrt{n}} diverge. Conclusão: a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Testar convergência condicional usando o Teste de Leibniz (Teste das séries alternadas). Recordando o enunciado do teste de forma didática:
  • Se (b_n) é uma sequência de termos positivos tal que b_{n+1}\le b_n para todo n suficientemente grande (ou seja, b_n é eventualmente monotona decrescente) e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternada \sum (-1)^{n} b_n converge.
Aqui b_n=\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}. Preciso verificar duas coisas: (i) \lim_{n\to\infty} b_n = 0 e (ii) b_n é eventualmente decrescente.

Passo 5

Verificação de \lim_{n\to\infty} b_n = 0. Trabalho com a função contínua f(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} e uso L’Hospital (ou argumento de dominância de potências sobre logaritmos). Calculo
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}.
Aplicando L’Hospital (forma \infty/\infty), derivadas:
\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{\tfrac{1}{2}x^{-1/2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0.
Logo \lim_{n\to\infty} b_n = 0.

Passo 6

Verificação de monotonia eventual de b_n. Derivo f(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} = (\ln x)x^{-1/2}. A derivada é
f'(x) = x^{-3/2}\!\left(1-\tfrac{1}{2}\ln x\right).
Detalhe do cálculo (pra você poder reproduzir na prova): use produto/quotient rule ou escreva f(x)=(\ln x)x^{-1/2}; a derivada do primeiro fator é 1/x multiplicada pelo segundo x^{-1/2} x^{-3/2}, e derivada do segundo -\tfrac{1}{2}x^{-3/2} multiplicada por \ln x -\tfrac{1}{2}\ln x\,x^{-3/2}; somando obtemos a expressão acima.
Observe que x^{-3/2}>0 para x>0. O sinal de f'(x) é o sinal de 1-\tfrac{1}{2}\ln x. Quando \ln x>2 (ou seja, x>e^{2}\approx 7{,}39), temos 1-\tfrac{1}{2}\ln x<0. Assim f'(x)<0 para x>e^{2}. Consequência: f é decrescente para x>e^{2}, então b_n é monotona decrescente a partir de n\ge 8.
Portanto as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas: b_n\to 0 e b_n é eventualmente decrescente.

Passo 7

Aplicando o Teste de Leibniz concluímos que a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}
converge.
Já vimos no Passo 3 que a série dos módulos diverge, ou seja, a convergência não é absoluta.

Passo 8

Conclusão combinada: a série converge, mas não converge absolutamente. Portanto ela é condicionalmente convergente.
Forcinha final: deu trabalho, mas o passo-chave é ver que o log é pequeno frente à raiz e aí o teste de Leibniz fecha o caso — fica tranquilo, isso aparece muito em prova.

Resposta

(CD) condicionalmente convergente

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