Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
()
()
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
em uma das três categorias: (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente.
Informações relevantes que temos:
- O termo geral é
. - A parte positiva (módulo) é
(para , bem definida a partir de já que ). - A série é alternada por causa do fator
.
Passo 2
Testar a convergência absoluta: considerar a série de termos positivos
Se essa série divergir, então a série original não é absolutamente convergente. Para investigar, uso o Teste da Integral (ou simplesmente analiso a integral correspondente), verificando
Se essa integral divergir, então a série de termos positivos também diverge (por correspondência entre integral e soma para função decrescente positiva).
Passo 3
Cálculo da integral para ver se diverge. Faço a substituição conveniente
, então
e
. Assim
Como
, obtemos
Agora calcule a primitiva de
:
Portanto, avaliando o integral impróprio,
Como
quando
, a integral diverge para
. Logo
Pelo Teste da Integral, a série
diverge. Conclusão: a série original não é absolutamente convergente.
Passo 4
Testar convergência condicional usando o Teste de Leibniz (Teste das séries alternadas). Recordando o enunciado do teste de forma didática:
- Se
é uma sequência de termos positivos tal que para todo suficientemente grande (ou seja, é eventualmente monotona decrescente) e , então a série alternada converge.
Aqui
. Preciso verificar duas coisas: (i)
e (ii)
é eventualmente decrescente.
Passo 5
Verificação de
. Trabalho com a função contínua
e uso L’Hospital (ou argumento de dominância de potências sobre logaritmos). Calculo
Aplicando L’Hospital (forma
), derivadas:
Logo
.
Passo 6
Verificação de monotonia eventual de
. Derivo
. A derivada é
Detalhe do cálculo (pra você poder reproduzir na prova): use produto/quotient rule ou escreva
; a derivada do primeiro fator é
multiplicada pelo segundo
dá
, e derivada do segundo
multiplicada por
dá
; somando obtemos a expressão acima.
Observe que
para
. O sinal de
é o sinal de
. Quando
(ou seja,
), temos
. Assim
para
. Consequência:
é decrescente para
, então
é monotona decrescente a partir de
.
Portanto as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas:
e
é eventualmente decrescente.
Passo 7
Aplicando o Teste de Leibniz concluímos que a série alternada
converge.
Já vimos no Passo 3 que a série dos módulos diverge, ou seja, a convergência não é absoluta.
Passo 8
Conclusão combinada: a série converge, mas não converge absolutamente. Portanto ela é condicionalmente convergente.
Forcinha final: deu trabalho, mas o passo-chave é ver que o log é pequeno frente à raiz e aí o teste de Leibniz fecha o caso — fica tranquilo, isso aparece muito em prova.
Resposta
(CD) condicionalmente convergente